Câu 201: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right),N\left( {0;1;2} \right),P\left( {1;5; - 1} \right),Q\left( {3; - 1;1} \right)\) hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai điểm M, N và cách đều hai điểm P, Q. A. 1 mặt phẳng B. 2 mặt phẳng C. Có vô số mặt phẳng D. 4 mặt phẳng Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {MN} \left( { - 1;3; - 1} \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {PQ} \left( {2; - 6;2} \right)\) nên \(MN//PQ\) do đó vô số mặt phẳng qua M, N và cách đều 2 điểm P, Q.
Câu 202: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và \(B\left( {5; - 2;3} \right)\)? A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 4t\\y = - 2 - 2t\\z = 3 - 4t\end{array} \right.,t \in R\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.,t \in R\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = - 2 + t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.,t \in R\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.,t \in R\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {AB} =\left( {4; - 2;4} \right) = 2\left( {2; - 1;2} \right) \Rightarrow \)Một vtcp của đường thẳng AB là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right).\) Mà AB qua \(B\left( {5; - 2;3} \right)\) nên phương trình đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = - 2 + t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}.\)
Câu 203: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;5;2} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - 3;7;4} \right)\). Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Tìm tọa độ điểm C. A. \(C\left( { - 7;9; - 6} \right)\) B. \(C\left( { - 7;9;6} \right)\) C. \(C\left( { - 1;1;3} \right)\) D. \(C\left( {5; - 17;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A\left( {1;5;2} \right),B = \left( { - 3;7;4} \right).\) Vì C là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AC, suy ra : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2{x_B} - {x_A} = 2.\left( { - 3} \right) - 1 = - 7\\{y_C} = 2{y_B} - {y_A} = 2.7 - 5 = 9\\{z_C} = 2{z_B} - {z_A} = 2.4 - 2 = 6\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 7;9;6} \right)\)
Câu 204: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y + 1 = 0\). Tính tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu (S). A. \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( {3; - 1;0} \right)\\R = 9\end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( {3; - 1;0} \right)\\R = 3\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( {3; - 1;0} \right)\\R = 3\end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( {3; - 1;0} \right)\\R = \sqrt {10} \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm I(3;-1;0), bán kính \(R = 3.\)
Câu 205: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2{\rm{z}} - 5 = 0\) và hai điểm \(A\left( { - 3;0;1} \right),B\left( {1; - 1;3} \right).\) Trong tất cả các đường thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P), gọi \(\Delta \) là đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến \(\Delta \) là lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta .\) A. \(\frac{{x - 5}}{2} = \frac{y}{{ - 6}} = \frac{z}{{ - 7}}.\) B. \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 12}}{6} = \frac{{z + 13}}{7}.\) C. \(\frac{{x + 3}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 6}} = \frac{{z - 1}}{7}.\) D. \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{6} = \frac{{z - 3}}{7}.\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(\left( { - 3 - 2.0 + 2.1 - 5} \right)\left( {1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2.3 - 5} \right) < 0\) nên hai điểm A, B khác phía so với (P). Gọi H là hình chiếu của B lên \(\Delta .\) Ta có: \(BH \le BA\)nên khoảng cách BH từ B đến \(\Delta \) lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A. Khi đó \(AB \bot \Delta .\) VTPT của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 1;2} \right)\) VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 2;6;7} \right).\) Mà \(\Delta \) qua \(A\left( { - 3;0;1} \right)\) nên chọn B.
Câu 206: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4{\rm{x}} + 2y + z = 0,\)\(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - y - z = 0\) cắt nhau theo một đường tròn (C) và ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\)\(B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right).\) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn (C) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, AC? A. 1 mặt cầu. B. 2 mặt cầu. C. 4 mặt cầu. D. Vô số mặt cầu. Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4{\rm{x}} + 2y + z = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - y - z \Leftrightarrow 6{\rm{x}} + 3y + 2{\rm{z}} = 0\) Dễ thấy \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\,\,\,hay\,\,\,6{\rm{x}} + 3y + 2{\rm{z}} - 6 = 0.\) Do đó (ABC)//(P). Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M, N, P, Q cách đều AB, BC và AC là tâm đường tròn nội tiếp và 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C do đó có 4 điểm trên mặt phẳng (P) là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q trên (P).
Câu 207: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C; trực tâm của tam giác ABC là \(H\left( {1;2;3} \right).\) Viết phương trình mặt phẳng (P). A. \(x + 2y + 3{\rm{z}} - 14 = 0.\) B. \(x + 2y + 3{\rm{z}} + 14 = 0.\) C. \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1.\) D. \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {OH} = \left( {1;2;3} \right)\) là VTPT của mặt phẳng (P). Phương trình của mặt phẳng (P) là: \(\left( P \right):1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( P \right):x + 2y + 3{\rm{z}} - 14 = 0.\)
Câu 208: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4{\rm{x + 3}}y - 3z + 1 = 0.\) Viết phương trình tham số của đường thẳng d. A. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = - 1 + 3t\\z = 6 - 3t\end{array} \right.\) B. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 4t\\y = - 2 + 3t\\z = - 3 - 3t\end{array} \right.\) C. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) D. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 2 - 3t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án VTPT của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {4;3; - 3} \right).\) Vì d song song \(\left( \alpha \right)\) nên d nhận \(\overrightarrow n \) làm VTCP. Mà d đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) nên có phương trình: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - 3t\end{array} \right..\)
Câu 209: Trong không gian độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 100\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2{\rm{x}} - 2y - z + 9 = 0.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tính bán kính R của đường tròn (C). A. \(R = 6.\) B. \(R = 3.\) C. \(R = 8.\) D. \(R = 2\sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Tâm và bán kính của mặt cầu (S): \(I\left( {3; - 2;1} \right),r = 10.\) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(d = \frac{{\left| {2.3 - 2\left( { - 2} \right) - 1 + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 6.\) Ta có: \(R = \sqrt {{r^2} - {d^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8.\)
Câu 210: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{4} = \frac{{y - 5}}{6} = \frac{{z - 7}}{8}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. d vuông góc d’. B. d song song d’. C. d trùng với d’. D. d và d’ chéo nhau. Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d có VTCP là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3;4} \right).\) Đường thẳng d’ có VTCP là: \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;6;8} \right).\) Ta có: \(\overrightarrow {{n_2}} = 2.\overrightarrow {{n_1}} \) Suy ra d và d’ song song hoặc trùng nhau. Mà \(A\left( {1;2;3} \right)\) thuộc d và d’ nên d và d’ trùng nhau.
