Câu 211: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( {4;0;1} \right),C\left( { - 10;5;3} \right).\) Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)? A. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2;0} \right).\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2;2} \right).\) C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;8;2} \right).\) D. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2;2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 12;6;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12;24;24} \right) = 12\left( {1;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2;2} \right)\) là VTPT của (ABC).
Câu 212: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow b \left( {1; - 1; - 2} \right),\overrightarrow c \left( {2;1; - 1} \right).\) Tính \(T = \overrightarrow a \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\) A. \(T = 3.\) B. \(T = 6.\) C. \(T = 0.\) D. \(T = 9.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {3;1; - 3} \right) \Rightarrow T = 3.3 + 0.1 + 1.\left( { - 3} \right) = 6.\)
Câu 213: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}\) và hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),\,\,B\left( { - 1;0;2} \right).\) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và tạo với đường thẳng \(\Delta \) góc lớn nhất. A. \(x + 10y + 22{\rm{z}} - 43 = 0.\) B. \(2{\rm{x}} + 21y + 46{\rm{z}} - 90 = 0.\) C. \(x + 4y + 10{\rm{z}} - 19 = 0.\) D. \(2{\rm{x}} + 3y - 5{\rm{z}} + 3 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi d là đường thẳng qua A và song song với \(\Delta \). Vậy PT đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right..\) Lấy \(C\left( {2;4;3} \right) \in d.\) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C lên (P) và đường thẳng AB. Lúc này có \(\widehat {\left( {\left( P \right),\Delta } \right)} = \widehat {\left( {\left( P \right),d} \right)} = \widehat {CAH}.\) Ta có: \({\rm{cos}}\widehat {CAH} = \frac{{AH}}{{AC}} \ge \frac{{AK}}{{AC}} = const \Rightarrow \widehat {CAH}\) lớn nhất khi H trùng với K. Vậy mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc \(\left( \gamma \right)\) (\(\left( \gamma \right)\) là mặt phẳng tạo bởi 2 đường thẳng AB và d). Ta có: \(\overrightarrow {{n_{\left( \gamma \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 6;5; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \gamma \right)}}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 1; - 10; - 22} \right).\) Phương trình mặt phẳng (P): \(x + 10y + 22{\rm{z}} - 43 = 0.\)
Câu 214: Cho ba điểm \(A\left( {1;0;1} \right);B\left( {2; - 1;0} \right);C\left( {0; - 3; - 1} \right)\). Tìm tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(A{M^2} - B{M^2} = C{M^2}\) A. Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 8y + 4{\rm{z}} + 13 = 0\) B. Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 4y + 8{\rm{z}} + 13 = 0\) C. Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 8y - 4z - 13 = 0\) D. Mặt phẳng \(2x - 8y - 4z - 13 = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(A{M^2} - B{M^2} = C{M^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {y + 1} \right)^2} - {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 8y + 4{\rm{z}} + 13 = 0.\)
Câu 215: Với giá trị nào của m, n thì đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = 1 - 4t\\z = t - 3\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right):\left( {m - 1} \right)x + 2y - 4z + n - 9 = 0\)? A. \(m = 4;n = 14\) B. \(m = - 4;n = - 10\) C. \(m = 3;n = - 11\) D. \(m = 4;n = - 14\) Spoiler: Xem đáp án d qua \(A\left( {3;1; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {4; - 4;1} \right)\) Vecto pháp tuyến của \(\left( P \right):\left( {m - 1;2; - 4} \right)\) \(d \subset \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow n = 0\\A \in \left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\3m + n = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = - 14\end{array} \right.\)
Câu 216: Cho tứ giác ABCD có \(A\left( {0;1; - 1} \right),B\left( {1;1;2} \right),C\left( {1; - 1;0} \right),D\left( {0;0;1} \right)\). Tính độ dài đường cao AH của hình chóp A.BCD. A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) B. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) C. \(2\sqrt 2 \) D. \(3\sqrt 2 \) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 2; - 2} \right);\overrightarrow {B{\rm{D}}} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right] = \left( {0;1; - 1} \right)\) là VTPT của (BCD). Phương trình tổng quát của (BCD): \(\left( {x - 1} \right)0 + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 2} \right)\left( { - 1} \right) = 0\) Hay \(\left( {BC{\rm{D}}} \right):y - z + 1 = 0\) \(AH = d\left( {A,BC{\rm{D}}} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Câu 217: Ba mặt phẳng\(x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0\) cắt nhau tại điểm A. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(A\left( {1;2;3} \right)\) B. \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) C. \(A\left( { - 1; - 2;3} \right)\) D. \(A\left( { - 1;2; - 3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\\2x - y + 3z + 13 = 0\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\\z = - 3\end{array} \right.\)
Câu 218: Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua \(I\left( { - 1;5;2} \right)\) và song song với trục Ox. A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t - 1\\y = 5\\z = 2\end{array} \right.;t \in \mathbb{R}\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - m\\y = 5m\\z = 2m\end{array} \right.;m \in \mathbb{R}\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 10t\\z = 4t\end{array} \right.;t \in \mathbb{R}\) D. Hai câu A và C Spoiler: Xem đáp án \(d//\left( {Ox} \right) \Rightarrow \) Vectơ chỉ phương của \(d:\overrightarrow {{e_1}} = \left( {1;0;0} \right)\) Vậy phương trình tham số của d là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t - 1\\y = 5\\z = 2\end{array} \right.;t \in \mathbb{R}\)
Câu 219: Trong không gian Oxyz, cho hai vector \(\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \). \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) là biểu thức nào sau đây? A. \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) B. \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_1}{b_2} + {a_2}{b_3} + {a_3}{b_1}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) C. \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_1}{b_3} + {a_2}{b_1} + {a_3}{b_2}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) D. \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_1}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)
Câu 220: Trong không gian Oxyz, cho hai vector \(\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \). Tích hữu hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \). Câu nào sau đây đúng? A. \(\overrightarrow c = \left( {{a_1}{b_3} - {a_2}{b_1},{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right)\) B. \(\overrightarrow c = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} - {a_1}{b_b},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\) C. \(\overrightarrow c = \left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1},{a_2}{b_3} - {a_3}{b_1}} \right)\) D. \(\overrightarrow c = \left( {{a_1}{b_3} - {a_3}{b_1},{a_2}{b_2} - {a_1}{b_2},{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right).\)
