Câu 221: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( { - 3;2; - 4} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng Oxz? A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 2\) B. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9\) C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\) D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( {Oxz} \right):y = 0\) Khoảng cách từ I đến \(\left( {Oxz} \right)\) là: \(d = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = 2.\) Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4.\)
Câu 222: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {3; - 4;7} \right)\) và chứa trục Oz. A. \(\left( P \right):3x + 4z = 0\) B. \(\left( P \right):4x + 3y = 0\) C. \(\left( P \right):3x + 4y = 0\) D. \(\left( P \right):4y + 3z = 0\) Spoiler: Xem đáp án Điểm \(A\left( {0;0;1} \right) \in Oz\). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M, A và nhận \(\overrightarrow {Oz} \left( {0;0;1} \right)\) làm một VTCP. Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 3;4; - 6} \right)\) vtpt của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {Oz} } \right] = \left( {4;3;0} \right)\) Phương trình mặt phẳng (P) là: \(\left( P \right):4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(\left( P \right):4x + 3y = 0.\)
Câu 223: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):6x + 3y - 2z + 24 = 0\) và điểm \(A\left( {2;5;1} \right)\) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (P) A. \(H\left( {4;2;3} \right)\) B. \(H\left( {4;2; - 3} \right)\) C. \(H\left( {4; - 2;3} \right)\) D. \(H\left( { - 4;2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Vtpt của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {6;3; - 2} \right)\). Gọi d là đường thẳng đi qua A và nhận \(\overrightarrow n \) làmVTCP. Phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 6t}\\{y = 5 + 3t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\). Khi đó \(H = d \cap \left( P \right)\). Viết hệ phương trình giao điểm của d và (P), ta có: \(6\left( {2 + 6t} \right) + 3\left( {5 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 24 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\) Khi đó: \(H\left( { - 4;2;3} \right)\)
Câu 224: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;2; - 1} \right),B\left( {5;4;3} \right)\). M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho \(\frac{{AM}}{{BM}} = 2\). Tìm tọa độ của điểm M. A. \(\left( {7;6;7} \right)\) B. \(\left( {\frac{{10}}{3};\frac{{10}}{3};\frac{5}{3}} \right)\) C. \(\left( { - \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\) D. \(\left( {13;11;5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{AM}}{{BM}} = 2 \Rightarrow AM = 2.AB \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left( {{x_M} - 3;{y_M} - 2;{z_M} + 1} \right)\) \( = 2\left( {2;2;4} \right) = \left( {4;4;8} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} - 3 = 4}\\{{y_M} - 2 = 4}\\{{z_M} + 1 = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 7}\\{{y_M} = 6}\\{{z_M} = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M\left( {7;6;7} \right)\)
Câu 225: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2z + 3 = 0\). Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của (P)? A. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {0;1;0} \right)\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 2} \right)\) C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1; - 1;0} \right)\) D. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2z + 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 2} \right)\) làm một VTPT.
Câu 226: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) và điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba giao tuyến là các đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\). Tính tổng diện tích của ba hình tròn \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right).\) A. \(4\pi \) B. \(12\pi \) C. \(11\pi \) D. \(3\pi \) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = x - 1}\\{Y = y - 1}\\{Z = z + 1}\end{array}} \right.\). Trong hệ trục tọa độ mới \(A\left( {0;0;0} \right),I\left( {0;0; - 1} \right),\left( S \right):{X^2} + {Y^2} + {\left( {Z + 1} \right)^2} = 4\) Trong mặt phẳng (AXY) thì \(\left( {{C_1}} \right):{X^2} + {Y^2} = 3 \Rightarrow R_1^2 = 3\) Trong mặt phẳng (AXZ) thì \(\left( {{C_2}} \right):{X^2} + {\left( {Z + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow R_2^2 = 4\) Trong mặt phẳng (AYZ) thì \(\left( {{C_3}} \right):{Y^2} + {\left( {Z + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow R_3^2 = 4\) Tổng diện tích của ba hình tròn \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\) là: \(S = \pi \left( {R_1^2 + R_2^2 + R_3^2} \right) = \pi \left( {3 + 4 + 4} \right) = 11\pi .\)
Câu 227: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):mx + 10y + nz - 11 = 0\). Biết rằng mặt phẳng (P) luôn chứa đường thẳng d, tính \(m + n.\) A. \(m + n = 33\) B. \(m + n = - 33\) C. \(m + n = 21\) D. \(m + n = - 21\) Spoiler: Xem đáp án Các điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {3;5;7} \right) \in d\). Vì mặt phẳng (P) luôn chứa đường thẳng d nên \(A,B \in d\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m.1 + 10.2 + n.3 - 11 = 0}\\{m.3 + 10.5 + n.7 - 11 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 27}\\{n = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow m + n = - 27 + 6 = - 21.\)
Câu 228: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0; - 5} \right)\) . Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)? A. \(\overrightarrow {n_4} = \left( {1;\frac{1}{2}; - \frac{1}{5}} \right)\) B. \(\overrightarrow {n_2} = \left( {1; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{5}} \right)\) C. \(\overrightarrow {n_1} = \left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{5}} \right)\) D. \(\overrightarrow {n_3} = \left( {1; - \frac{1}{2};\frac{1}{5}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 1;0; - 5} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10; - 5; - 2} \right) = 10\left( {1; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{5}} \right) = 10\overrightarrow {{n_2}} \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} \) là vtpt của (ABC). Câu 229: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 2 = 0,\)\(\left( Q \right):x + 3y - 12 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}.\) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\) A. \(\left( R \right):5{\rm{x}} + y - 7{\rm{z}} - 1 = 0.\) B. \(\left( R \right):{\rm{x}} + 2y - z + 2 = 0.\) C. \(\left( R \right):{\rm{x}} + 2y - {\rm{z}} = 0.\) D. \(\left( R \right):15{\rm{x}} + 11y - 17{\rm{z}} - 10 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án VTPT của (P) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right)\), VTPT của (Q) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3;0} \right)\). Gọi \({d'} = \left( P \right) \cap \left( Q \right).\) Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) Khi đó VTCP của d’ là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {3; - 1;2} \right)\) cũng là VTCP của d nên d song song d’. Ta có: \(A\left( {1; - 2; - 1} \right) \in d,\,\,B\left( {0;4;2} \right) \in {\rm{d'}} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;6;3} \right)\) VTPT của (R) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {15;11; - 17} \right).\) Phương trình mặt phẳng (R) là: \(15\left( {x - 0} \right) + 11\left( {y - 4} \right) - 17\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 15{\rm{x}} + 11y - 17{\rm{z}} - 10 = 0.\)
Câu 230: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(\overrightarrow u \) không vuông góc với \(\overrightarrow n \) thì d cắt (P). B. d song song (P) thì \(\overrightarrow u \) cùng phương \(\overrightarrow n .\) C. d vuông góc (P) thì \(\overrightarrow u \) vuông góc \(\overrightarrow n .\) D. \(\overrightarrow u \) vuông góc với \(\overrightarrow n \) thì d song song (P). Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow u \) không vuông góc với \(\overrightarrow n \) thì d không nằm trong (P) hoặc d không song song với (P) nên d cắt (P).
Câu 231: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 2y + 1 = 0.\) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chứa hai điểm A, B và tiếp xúc với (S)? A. 1 B. Vô số. C. 0 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 1 \Rightarrow \left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1;0} \right)\) và bán kính \(R = 1.\) Gọi (P) là mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài. Dễ thấy \(A\left( {1;0;0} \right) \in \left( S \right) \Rightarrow \) nếu tồn tại mặt phẳng (P) thì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A. \(\overrightarrow {IA} = \left( {0; - 1;0} \right)\) Mặt phẳng (P) qua A và nhận \(\overrightarrow n = - \overrightarrow {IA} = \left( {0;1;0} \right)\) làm VTPT, nên có phương trình là: \(y = 0.\) Ta thấy B(0;0;2) thuộc B. Vậy có mặt phẳng duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.
