Câu 232: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right),B\left( {2;1; - 1} \right)\) và \(C\left( {1; - 2; - 2} \right).\) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. A. \(G\left( {4; - 1;1} \right).\) B. \(G\left( { - \frac{4}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right).\) C. \(G\left( {\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right).\) D. \(G\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 2 + 1}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{0 + 1 + \left( { - 2} \right)}}{3} = - \frac{1}{3}\\{z_G} = \frac{{ - 2 + \left( { - 1} \right) + 2}}{3} = - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right).\)
Câu 233: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 2.\) Tìm tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). A. \(I\left( { - 1;1;0} \right)\) và \(R = 2.\) B. \(I\left( { - 1;1;0} \right)\) và \(R = \sqrt 2 .\) C. \(I\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(R = 2.\) D. \(I\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(R = \sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1; - 1;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 .\)
Câu 234: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4.\) Xét đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - mt\\z = \left( {m - 1} \right)t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right),\,\,m\) là tham số thực. Giả sử \(\left( P \right),\,\,\left( {P'} \right)\) là hai mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với (S) lần lượt tại T và \(T'.\) Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(TT'.\) A. \(\frac{{4\sqrt {13} }}{5}.\) B. \(2\sqrt 2 .\) C. \(2.\) D. \(\frac{{2\sqrt {11} }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right),\) bán kính \(R = 2.\) Ta có: \(TT' = 2TH.\) Tam giác HIT đồng dạng với tam giác TIM nên ta có: \(\frac{{TH}}{{TM}} = \frac{{TI}}{{MI}} \Rightarrow TH = \frac{{TI.TM}}{{MI}} = \frac{{R\sqrt {M{I^2} - {R^2}} }}{{MI}} = R\sqrt {1 - \frac{{{R^2}}}{{M{I^2}}}} \) Khi đó \(T{T'_{\min }} \Leftrightarrow T{H_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\). Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - mt\\z = \left( {m - 1} \right)t\end{array} \right. \Rightarrow x + y + z = 1\) Suy ra d luôn thuộc một mặt phẳng cố định là \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0.\) Khi đó \(M{I_{\min }} = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{5}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow TH = \frac{{2\sqrt {13} }}{5} \Rightarrow TT' = \frac{{4\sqrt {13} }}{5}.\)
Câu 235: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.\) Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? A. \(\overrightarrow n = \left( {6;3;2} \right).\) B. \(\overrightarrow n = \left( {2;3;6} \right).\) C. \(\overrightarrow n = \left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}} \right).\) D. \(\overrightarrow n = \left( {3;2;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có một VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2};1} \right) = \frac{1}{6}\left( {2;3;6} \right) = \frac{1}{6}\overrightarrow n \Rightarrow \overrightarrow n \) cũng là 1 VTPT của (P).
Câu 236: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = 3}\\{z = t}\end{array}} \right.\). Tìm phương trình của mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) A. \(x + 3y + z - 8 = 0\) B. \(x + 5y - 2z + 12 = 0\) C. \(x - 5y + 2z - 12 = 0\) D. \(x + 5y + 2z + 12 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Các VTCP của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là: \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;0;1} \right)\). Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau. Giải hệ phương trình của \({d_1}\) và \({d_2}\) \( \Rightarrow \) vô nghiệm \( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau. Khi đó (P) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {u{_2}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\) làm VTPT \( \Rightarrow \left( P \right):x + 3y + z + m = 0\) \(A\left( {2;1;0} \right) \in {d_1};B\left( {2;3;0} \right) \in {d_2} \Rightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + 3.1 + 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 + 3.3 + 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }}\) \( \Leftrightarrow m = - 8 \Rightarrow \left( P \right):x + 3y + z - 8 = 0\)
Câu 237: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - y + z - 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(S = M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. A. \(M\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\) \ B. \(M\left( {1;1;3} \right)\) C. \(M\left( {2;1;2} \right)\) D. \(M\left( {0;2;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của AB. Ta có \(I\left( {0;2;1} \right)\) Vì MI là trung tuyến của MAB nên \(M{I^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4}\) \( \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}.\) Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên (P). Vtpt của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) là\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) Khi đó \(M = d \cap \left( P \right)\). Viết hệ phương trình giao điểm của d và (P) ta có: \(t = \frac{4}{3}\) Vậy tọa độ \(M\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\).
Câu 238: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 3}}{3}\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 2 + 6t}\end{array}} \right.\) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) song song với nhau. B. Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) trùng nhau. C. Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) cắt nhau. D. Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) chéo nhau. Spoiler: Xem đáp án Các VTCP của \({d_1},{d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;4;6} \right)\). Mà \(\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}} \Rightarrow {d_1}//{d_2}\) hoặc \({d_1} \equiv {d_2}\) Mà \(A\left( {0;1;2} \right) \in {d_2}\) nhưng \(A \notin {d_1} \Rightarrow {d_1}//{d_2}.\)
Câu 239: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 3;5;1} \right)\). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. \(D\left( { - 4;8; - 5} \right)\) B. \(D\left( { - 4;8; - 3} \right)\) C. \(D\left( { - 2;2;5} \right)\) D. \(D\left( { - 2;8; - 3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1;3; - 4} \right)\). Tứ giác ABCD là hình bình hành khi: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BC} \) \( \Rightarrow \left( {{x_D} + 3;{y_D} - 5;{z_D} - 1} \right) = \left( { - 1;3; - 4} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} + 3 = - 1}\\{{y_D} - 5 = 3}\\{{z_D} - 1 = - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} = - 4}\\{{y_D} = 8}\\{{z_D} = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow D\left( { - 4;8; - 3} \right)\)
Câu 240: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x + 3y - 7z + 1 = 0\). Tìm phương trình của đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). A. \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\) B. \(\frac{{x + 1}}{8} = \frac{{y + 2}}{6} = \frac{{z + 3}}{{ - 14}}\) C. \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\) D. \(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z + 3}}{{ - 7}}\) Spoiler: Xem đáp án VTPT của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {4;3; - 7} \right)\). Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) nhận \(\overrightarrow n \) làm VTCP. Phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}.\)
Câu 241: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 4y + 2z - 2017 = 0\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với mặt phẳng (P)? A. \({d_4}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{2}\) B. \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\) C. \({d_2}:\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{1}\) D. \({d_3}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{1 - z}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án VTPT của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4;2} \right),\) VTCP của \({d_1}\) là: \(\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right).\) Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = 3.2 + \left( { - 4} \right).2 + 2.1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow u \) Mặt khác: \(A\left( {1;1;1} \right) \in {d_1}\) mà \(A \notin \left( P \right)\) \( \Rightarrow {d_1}//\left( P \right).\)
