Câu 242: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và \(B\left( {3; - 1;1} \right)\). Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và B. A. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{4}\) B. \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}\) C. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{4}\) D. \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right).\). Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và B là: \(AB:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{4}\)
Câu 243: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. A. \(x + 2y - z + 4 = 0\) B. \(2x + y - z - 4 = 0\) C. \(2x + y + z - 4 = 0\) D. \(2x - y - z + 4 = 0\) Spoiler: Xem đáp án VTCP của d là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\). Mặt phẳng (P) đi qua A nhận \(\overrightarrow u \) làm VTPT. Phương trình mặt phẳng (P) là: \(\left( P \right):2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 1\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(\left( P \right):2x + y - z - 4 = 0.\)
Câu 244: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;0;0} \right);B\left( {0;3;0} \right);C\left( {0;0;4} \right)\). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau: A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = - 4t}\\{z = - 3t}\end{array}} \right.\) B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 2 + 4t}\\{z = - 3t}\end{array}} \right.\) C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\\{z = - 3t}\end{array}} \right.\) D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\) Spoiler: Xem đáp án \(A\left( {2;0;0} \right);B\left( {0;3;0} \right);C\left( {0;0; - 4} \right)\). Khi đó phương trình mp (ABC) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 4}} = 1\) Gọi \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\); \(\overrightarrow {AH} = \left( {{x_H} - 2;{y_H};{z_H}} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 3; - 4} \right);\overrightarrow {BH} = \left( {{x_H};{y_H} - 3;{z_H}} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 4} \right)\) Vì H là trực tâm của \(\Delta ABC\) nên: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{x_H} - 2} \right).0 + {y_H}.\left( { - 3} \right) + {z_H}\left( { - 4} \right) = 0}\\{{x_H}.\left( { - 2} \right) + \left( {{y_H} - 3} \right).0 + {z_H}.\left( { - 4} \right) = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{y_H} + 4{z_H} = 0}\\{2{x_H} + 4{z_H} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_H} = - \frac{4}{3}{z_H}}\\{{x_H} = - 2{z_H}}\end{array}} \right.\) Vì \(H \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow \frac{{{x_H}}}{2} + \frac{{{y_H}}}{3} + \frac{{{z_H}}}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2{z_H}}}{2} + \frac{{\frac{{ - 4}}{3}{z_H}}}{3}\frac{{{z_H}}}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow - {z_H} - \frac{4}{9}{z_H} - \frac{{{z_H}}}{4} = 1\) \( \Leftrightarrow {z_H} = - \frac{{36}}{{61}} \Leftrightarrow {x_H} = - 2{z_H} = \frac{{72}}{{61}};{y_H} = - \frac{4}{3}{z_H} = - \frac{4}{3}.\left( { - \frac{{36}}{{61}}} \right) = \frac{{48}}{{31}}\) \( \Rightarrow H\left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{31}}; - \frac{{36}}{{61}}} \right)\) \(\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{31}}; - \frac{{36}}{{61}}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {6;4; - 3} \right)\) Pt đường thẳng OH là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\end{array}}\\{z = - 3t}\end{array}} \right.\)
Câu 245: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{7} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\). Đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt cắt \({d_1}\), \({d_2}\) tại A và B. Tính diện tích S của tam giác OAB. A. \(S = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) B. \(S = \sqrt 6 \) C. \(S = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) D. \(S = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - t}\end{array}}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.;{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t'}\\{y = 1 + 7t'}\\{z = 3 - t'}\end{array}} \right.\) Ta có: \(A\left( {1 + 2t; - t; - 2 + t} \right) \in {d_1};B\left( { - 1 + t';1 + 7t';3 - t'} \right) \in {d_2}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {t' - 2t - 2;7t' + t + 1;5 - t' - t} \right)\) Vì AB là đoạn vuông góc chung của \({d_1};{d_2}\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {t' - 2t - 2} \right).2 + \left( {7t' + t + 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {5 - t' - t} \right).1 = 0}\\{\left( {t' - 2t - 2} \right).1 + \left( {7t' + t + 1} \right).7 + \left( {5 - t' - t} \right).\left( { - 1} \right) = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t' = 0}\end{array} \Rightarrow A\left( {1;0; - 2} \right)} \right.;B\left( { - 1;1;3} \right)\) Ta có: \(OA = \sqrt 5 ;OB = \sqrt {11} ;AB = \sqrt {30} ;p = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt {11} + \sqrt {30} }}{2}\) \( \Rightarrow S = \sqrt {p\left( {p - OA} \right).\left( {p - OB} \right).\left( {p - AB} \right)} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)
Câu 246: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và cắt cấc trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức \(T = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) có giá trị nhỏ nhất. A. \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 14 = 0\) B. \(\left( P \right):6x - 3y + 2z - 6 = 0\) C. \(\left( P \right):6x + 3y + 2z - 18 = 0\) D. \(\left( P \right):3x + 2y + 3z - 10 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) Do đó phương trình mp (P) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) Vì \(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\) Vì tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc và gọi H là trực tâm\(\Delta ABC\): \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) Do đó \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}}\) nhỏ nhất hay \(O{H^2}\) lớn nhất. \(OH = d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {O;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow OH = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} \Rightarrow O{H^2} = \frac{1}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}}\) Theo Bunhiacopski ta có: \(1 = {\left( {1.\frac{1}{a} + 2.\frac{1}{b} + 3.\frac{1}{c}} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{1}{a}}} = \frac{2}{{\frac{1}{b}}} = \frac{3}{{\frac{1}{c}}} \Leftrightarrow a = 2b = 3c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 14}\\{b = 7}\\{c = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.\) Phương trình mặt phẳng (P) là: \(\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{z}{{\frac{{14}}{3}}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\)
Câu 247: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và đường thẳng d có phương trình: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d. A. \(5\sqrt 2 \) B. \(10\sqrt 2 \) C. \(2\sqrt 5 \) D. \(4\sqrt 5 \) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d là: \(2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 2} \right) - 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z + 3 = 0\) Gọi H là hình chiếu của A lên (P). Khi đó : \(H = d \cap \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 - t}\\{2x + y - z + 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{x = - 3}\\{y = 1}\\{z = - 2}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow H\left( { - 3;1; - 2} \right)\) \(R = AH = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \) nên đường kính của mặt cầu là \(10\sqrt 2 \)
Câu 248: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;4;2} \right),B\left( { - 1;2;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{2}\). Tìm tọa độ điểm M thuộc \(\Delta \) sao cho: \(M{A^2} + M{B^2} = 28.\) A. Không có điểm M nào B. \(M\left( {1; - 2;0} \right)\) C. \(M\left( { - 1;0;4} \right)\) D. \(M\left( {2; - 3; - 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình đường thẳng \(\Delta \) được viết lại là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) Điểm \(M \in \Delta \Rightarrow M\left( {1 - t; - 2 + t;2t} \right)\) \(M{A^2} = {t^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} + {\left( {2 - 2t} \right)^2};M{B^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {4 - t} \right)^2} + {\left( {4 - 2t} \right)^2}\) \(M{A^2} + M{B^2} = 28 \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {6 - t} \right)^2} + 02 - 2{t^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {4 - t} \right)^2} + {\left( {4 - 2t} \right)^2} = 28\) \( \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( { - 1;0;4} \right)\)
Câu 249: Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc trục Oy? A. \(M\left( {0;0;3} \right)\) B. \(M\left( {0; - 2;0} \right)\) C. \(M\left( { - 1;0;2} \right)\) D. \(M\left( {1;0;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điểm M thuộc trục Oy thì tọa độ có dạng: \(M\left( {0;y;0} \right).\) Vậy: \(M\left( {0; - 2;0} \right)\) thuộc Oy.
Câu 250: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 3 = 0\). Véc-tơ nào sau đây không là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P). A. \(\overrightarrow a = \left( {3; - 3;0} \right)\) B. \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)\) C. \(\overrightarrow a = \left( { - 1;1;0} \right)\) D. \(\overrightarrow a = \left( {1; - 1;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án VTPT của mặt phẳng (P) có dạng: \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1;0} \right),k \ne 0\) Suy ra \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)\) không là VTPT của (P).
Câu 251: Trong không gian Oxyz, tìm phương trình tham số trục Oz? A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\) B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Trục Oz có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) và đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên phương trình tham số của trục Oz là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\)
