Câu 252: Từ một tờ giấy hình tròn bán kính R, ta có thể cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là bao nhiêu? A. \(2{R^2}.\) B. \(\frac{3}{2}{R^2}.\) C. \({R^2}.\) D. \(\frac{{\pi {R^2}}}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}AC.B{\rm{D}}.\sin \varphi = 2{R^2}\sin \varphi \le 2{R^2}.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \varphi = {90^o}.\)
Câu 253: Cho ba vectơ không đồng phẳng \(\overrightarrow a \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow b \left( { - 1; - 3;1} \right),\overrightarrow c \left( {2; - 1;4} \right).\) Khi đó vectơ \(\overrightarrow d \left( { - 3; - 4;5} \right)\) phân tích theo ba vectơ không đồng phẳng \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) là: A. \(\overrightarrow d = 2\overrightarrow {\rm{a}} - 3\overrightarrow b - \overrightarrow c .\) B. \(\overrightarrow d = 2\overrightarrow {\rm{a}} + 3\overrightarrow b + \overrightarrow c .\) C. \(\overrightarrow d = \overrightarrow {\rm{a}} + 3\overrightarrow b - \overrightarrow c .\) D. \(\overrightarrow d = 2\overrightarrow {\rm{a}} + 3\overrightarrow b - \overrightarrow c .\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(\overrightarrow d = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + q\overrightarrow c \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = m - n + 2q\\ - 4 = 2m - 3n - q\\5 = 3m + n + 4q\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\\q = - 1\end{array} \right..\)
Câu 254: Cho tam giác ABC với \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 4;7;5} \right).\) Độ dài phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là: A. \(\frac{{2\sqrt {74} }}{5}.\) B. \(\frac{{2\sqrt {74} }}{3}.\) C. \(\frac{{3\sqrt {73} }}{3}.\) D. \(2\sqrt {30} .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi K là chân đường phân giác hạ từ B xuống cạnh AC. Ta có: \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{K{\rm{A}}}}{{KC}}.\) \(\overrightarrow {K{\rm{A}}} = \frac{{ - BA}}{{BC}}\overrightarrow {KC} \Rightarrow \overrightarrow {K{\rm{A}}} = \frac{{ - \sqrt {26} }}{{2\sqrt {26} }}\overrightarrow {KC} \Rightarrow 2\overrightarrow {K{\rm{A}}} = - \overrightarrow {KC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 - {x_K}} \right) = {x_K} + 4\\2\left( {2 - {y_K}} \right) = {y_K} - 7\\2\left( { - 1 - {z_K}} \right) = {z_K} - 5\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{{11}}{3};1} \right).\) Do đó: \(BK = \frac{{2\sqrt {74} }}{3}.\)
Câu 255: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {4;1; - 2} \right)\). Tọa độ điểm đối xứng của A qua mặt phẳng \(\left( {Ox{\rm{z}}} \right)\) là: A. \(\left( {4; - 1;2} \right).\) B. \(\left( { - 4; - 1;2} \right).\) C. \(\left( {4; - 1; - 2} \right).\) D. \(\left( {4;1;2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là điểm \(H\left( {4;0; - 2} \right).\) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (Oxz) suy ra H là trung điểm của AA’. Do đó ta có: \(A'\left( {4; - 1; - 2} \right).\)
Câu 256: Mặt phẳng đi qua \(A\left( {2;3;1} \right)\) và giao tuyến của hai mặt phẳng \(x + y = 0\) và \(x - y + z + 4 = 0\) có phương trình là: A. \(x - 3y + 6{\rm{z}} - 1 = 0.\) B. \(2{\rm{x}} - y + z - 2 = 0.\) C. \(x - 9y + 5{\rm{z}} + 20 = 0.\) D. \(x + y + 2{\rm{z}} - 7 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Tập hợp các điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ x - y + z + 4 = 0 \end{array} \right.\) Lấy điểm \(B\left( {0;0; - 4} \right),\,\,C\left( {1; - 1; - 6} \right)\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng trên. Khi đó: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2; - 3; - 5} \right);\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 1; - 4; - 7} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 9;5} \right)\) Mặt phẳng đi qua A và giao tuyết của hai mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 9;5} \right)\) làm một VTPT nên có phương trình là: \(x - 9y + 5{\rm{z}} - 20 = 0.\)
Câu 257: Cho mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} + 2y - 2{\rm{z}} + 15 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y - 2{\rm{z}} - 1 = 0.\) Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng (P) đến một điểm thuộc mặt cầu (S) là: A. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\) B. \(\sqrt 3 .\) C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(I\left( {0;1;1} \right);\,\,R = \sqrt 3 .\) Điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến một điểm thuộc mặt cầu nhỏ nhất là giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng đi qua tâm I, vuông góc với (P). Suy ra: \({d_{\min }} = d\left( {I,\left( P \right)} \right) - R = \frac{{\left| {15} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 4} }} - \sqrt 3 = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 258: Cho tứ diện ABCD với \(A\left( {5;1;3} \right),\,\,B\left( {1;6;2} \right),\,\,C\left( {5;0;4} \right),\,\,D\left( {4;0;6} \right).\) Phương trình mặt phẳng qua AB và song song với CD là: A. \(10x - 9y + 5{\rm{z}} - 56 = 0.\) B. \(21{\rm{x}} - 3y - z - 99 = 0.\) C. \(12{\rm{x}} - 4y - 2{\rm{z}} + 13 = 0.\) D. \(10{\rm{x}} + 9y + 5{\rm{z}} - 74 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5; - 1} \right);\,\,\overrightarrow {C{\rm{D}}} = \left( { - 1;0;2} \right).\) Khi đó \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {C{\rm{D}}} } \right] = \left( {10;9;5} \right).\) Khi đó PT mặt phẳng cần tìm là \(10\left( {x - 5} \right) + 9\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0\) hay \(10{\rm{x}} + 9y + 5{\rm{z}} - 74 = 0.\)
Câu 259: Góc giữa đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 5\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):y - z + 2 = 0\) là: A. \({90^o}.\) B. \({60^o}.\) C. \({30^o}.\) D. \({45^o}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\sin \widehat {\left( {d,\left( P \right)} \right)} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.0 + 0.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {\left( {d,\left( P \right)} \right)} = {30^o}.\)
Câu 260: Cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - z - 1 = 0.\) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;1; - 2} \right)\) song song với (P) và vuông góc với d là: A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}}.\) B. \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 5}}{{ - 3}}.\) C. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 5}}{3}.\) D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;3} \right).\) Khi đó: \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = - \left( {2;5; - 3} \right)\) Vậy đường thẳng cần tìm có một VTCP là: \(\overrightarrow u = - \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {2;5; - 3} \right)\) Do đó có phương trình là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}}.\)
Câu 261: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\) trùng với gốc tọa độ \(O\), các đỉnh \(B\left( {m;\,\,0;\,\,0} \right)\), \(D\left( {0;\,\,m;\,\,0} \right)\), \(A'\left( {0;\,\,0;\,\,n} \right)\) với \(m,n > 0\) và \(m + n = 4\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(CC'\). Tính thể tích lớn nhất của tứ diện \(BDA'M.\) A. \(\frac{{245}}{{108}}\). B. \(\frac{9}{4}\). C. \(\frac{{64}}{{27}}\). D. \(\frac{{75}}{{32}}\). Spoiler: Xem đáp án Tọa độ điểm \(C(m;m;0),C'(m;m;n),M\left( {m;m;\frac{n}{2}} \right)\) \(\overrightarrow {BA'} = ( - m;0;n),\overrightarrow {BD} = ( - m;m;0),\overrightarrow {BM} = \left( {0;m;\frac{n}{2}} \right)\) \(\left[ {\overrightarrow {BA'} ;\overrightarrow {BD} } \right] = ( - mn; - mn; - {m^2})\) \({V_{BDAM}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BA'} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {BM} } \right| = \frac{{{m^2}n}}{4} = \frac{{{m^2}(4 - m)}}{4}\) Ta có \(\frac{{{m^2}(4 - m)}}{4} = \frac{{m.m(8 - 2m)}}{8} \le \frac{1}{8}{\left( {\frac{{m + m + 8 - 2m}}{3}} \right)^3} = \frac{{64}}{{27}}\). Suy ra: \({V_{BDA'M}} \le \frac{{64}}{{27}}\).
