Câu 262: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( {3;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 1 = 0\). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P). Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. \(2\sqrt 3 \) B. \(\frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\) C. \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\) D. 4 Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(f\left( {x;y;z} \right) = x + y - z - 1 \Rightarrow f\left( A \right).f\left( B \right) > 0\) suy ra A, B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P) Ta có \(AM = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }},BN = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \) và \(AB = 2\sqrt 3 \) Gọi H là hình chiếu của A trên BN Khi đó \(AH = MN = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {BN - AM} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\) Ngoài cách làm trên, ta có thể tìm tọa độ hình chiếu của A, B là M, N sau đó tính khoảng cách.
Câu 263: Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), viết mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(A\left( { - 1;2;0} \right),B\left( { - 2;1;1} \right)\) và có tâm nằm trên trục \(Oz.\) A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - z - 5 = 0\). B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0\). C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - 5 = 0\). D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - y - 5 = 0\). Spoiler: Xem đáp án Gọi tâm \(I\left( {0;0;c} \right) \in Oz\) Suy ra phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2cz + d = 0\) với \({c^2} - d > 0.\) Do mặt cầu đi qua \(A\left( { - 1;2;0} \right)\), \(B\left( { - 2;1;1} \right)\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}d = - 5\\ - 2c + d = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{1}{2}\\d = - 5\end{array} \right.\) Vậy phương trình mặt cầu là \({x^2} + {y^2} + {z^2} - z - 5 = 0\)
Câu 264: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2;\,\, - 1;\,\,1} \right)\) lên các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right).\) A. \(x - 2y + 2z - 2 = 0\). B. \(x - 2y + 2z - 6 = 0\) C. \(x - 2y - 4 = 0\). D. \(x + 2z - 4 = 0\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(M(2;0;0),N(0; - 1;0),P(0;0;1).\) \( \Rightarrow (MNP):\frac{x}{2} - \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 2 = 0.\) Mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (MNP) có phương trình là:\(x - 2y + 2z - 6 = 0.\)
Câu 265: Trong không gian với hệ tọa độ\(Oxyz\) cho \(\overrightarrow u = (x;0;1),\overrightarrow v = (\sqrt 2 ; - \sqrt 2 ;0)\). Tìm \(x\) để góc giữa \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng \({60^0}\)? A. \( - 1\). B. \( \pm 1\). C. \(0\). D. \(1\). Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v ) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} \Leftrightarrow \cos {60^0} = \frac{{x.\sqrt 2 }}{{\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{{\sqrt 2 }^2} + {{\sqrt 2 }^2}} }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{x.\sqrt 2 }}{{2\sqrt {{x^2} + 1} .}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = x.\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + 1 = 2{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Câu 266: Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;\,\,1;\,\,3} \right)\), \(B\left( { - 1;\,\,3;\,\,2} \right)\), \(C\left( { - 1;\,\,2;\,\,3} \right)\). Tính bán kính \(r\) của mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). A. \(r = 3\). B. \(r = \sqrt 3 \). C. \(r = \sqrt 6 \). D. \(r = 2\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 2;2; - 1);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;1;0} \right).\) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;2;2} \right).\) Phương trình mặt phẳng \((ABC): (x - 1) + 2(y - 1) + 2(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 9 = 0.\) Bán kính mặt cầu cần tìm: \(r = d(0,(ABC)) = 3.\)
Câu 267: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(x - y + 3z - 1 = 0\) và \(3x - 7z + 2 = 0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của \(\Delta .\) A. \(\overrightarrow u = \left( {7;\,\,16;\,\,3} \right)\). B. \(\overrightarrow u = \left( {7;\,\,0;\, - 3} \right)\). C. \(\overrightarrow u = \left( { - 4;\,\,1;\, - 3} \right).\) D. \(\overrightarrow u = \left( {0;\, - 16;\,\,3} \right)\). Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng có một vectơ chỉ phương chính là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đã cho. Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1;3);\,\,\overrightarrow {{n_2}} = (3;0; - 7)\) là VTPT của hai mặt phẳng. Ta có: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {7;16;3} \right).\)
Câu 268: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y - 3z - 7 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Kết luận nào dưới đây là đúng? A. \(d{\rm{//}}\left( P \right)\). B. \(d\)cắt \(\left( P \right)\). C. C. \(d \bot \left( P \right)\). D. \(\left( P \right)\) chứa \(d\). Spoiler: Xem đáp án (P) có một VTPT \(\vec{n}=(2;-5;-3)\). d có một VTCP \(\vec{u}=(2;-1;3)\) và đi qua A(2; 0; -1) Ta có \(\vec{n}.\vec{u}=0\) nên d // (P) hoặc (P) chứa d. Mặt khác \(A(2;0;-1) \in (P)\) nên (P) chứa d.
Câu 269: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi\((P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (với \(a > 0,b > 0,c > 0\)) là mặt phẳng đi qua điểm \(H(1;1;2)\) và cắt \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\)sao cho khối tứ diện \(OABC\) có thể tích nhỏ nhất. Tính \(S = a + 2b + c\). A. \(S = 15\). B. \(S = 5\). C. \(S = 10\). D. \(S = 4\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) và \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc\). Vì \(H \in (P)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1\) (1) Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{b}\) và \(\frac{2}{c}\), ta có: \({\left( {\frac{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c}}}{3}} \right)^3} \ge \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{2}{c}\) (2) (dấu “=” xảy ra khi \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\)) Từ (1) và (2), suy ra \(abc \ge \frac{2}{{27}}\), hay \(V \ge \frac{4}{9}\); \(V = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{2}{c}\), suy ra \(a = b = 3,c = 6\)(do (1)). Vậy: \(S = a + 2b + c = 15\)
Câu 270: Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;1;1)\), \(B(2; - 1;2)\) và \(C(3;4; - 4)\). Giao điểm \(M\) của trục \(Ox\) với mặt phẳng \((ABC)\) là điểm nào dưới đây? A. \(M(1;0;0)\). B. \(M(2;0;0)\). C. \(M(3;0;0)\). D. \(M( - 1;0;0)\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (1; - 2;1)\\\overrightarrow {AC} = \left( {2;3; - 5} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {7;7;7} \right)\end{array}\) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1;1;1) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) làm VTPT nên có phương trình: \(x + y + z - 3 = 0.\) \(M \in Ox \Rightarrow M(t;0;0)\). \(M \in (ABC) \Rightarrow t = 3\) Vậy tọa độ \(M(3;0;0)\).
Câu 271: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng \(4x - 4y + 2z - 7 = 0\) và \(2x - 2y + z + 1 = 0\) chứa hai mặt của hình lập phương. Tính thể tích khối lập phương đó. A. \(V = \frac{{27}}{8}\). B. \(V = \frac{{27}}{8}\). C. \(V = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\). D. \(V = \frac{{64}}{{27}}\). Spoiler: Xem đáp án Theo bài ra hai mặt phẳng \(4x - 4y + 2z - 7 = 0\)và \(2x - 2y + z + 1 = 0\)chứa hai mặt của hình lập phương. Mà hai mặt phẳng \((P):4x - 4y + 2z - 7 = 0\)và \((Q):2x - 2y + z + 1 = 0\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng sẽ bằng cạnh của hình lập phương. Ta có \(M(0;0; - 1) \in \left( Q \right)\) nên \(d((Q);(P)) = d(M,(P)) = \frac{{\left| { - 2 - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 4)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{2}.\) Vậy thể tích khối lập phương là: \(V = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{27}}.\)
