Câu 272: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(M\) đến \(\left( P \right)\). A. \(d = \sqrt 3 \). B. \(d = 1\). C. \(d = 3\). D. \(d = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Spoiler: Xem đáp án Khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) là: \(d = \frac{{\left| {1 - 2 + 3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 \).
Câu 273: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;1} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1;m;1} \right)\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\). Tìm \(m\) để \(\overrightarrow a \) vuông góc với \(\overrightarrow b \). A. \(m = 1.\) B. \(m = 0.\) C. \(m = 2.\) D. \(m = 3.\) Spoiler: Xem đáp án Để \(\overrightarrow a \) vuông góc với \(\overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 2.1 + \left( { - 1} \right).m + 1.1 = 0 \Leftrightarrow m = 3\).
Câu 274: Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm \(I\left( { - 2;3;4} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) ? A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 2\). B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 2\). C. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4\). D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\). Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu tâm \(I\left( { - 2;3;4} \right)\), bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng:\(\left( {Oyz} \right)\) \(R = d\left( {I;\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{1} = 2\). Vậy \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4\).
Câu 275: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0\). Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là: A. \(\overrightarrow n = \left( {1;2;1} \right)\). B. \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\). C. \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\). D. \(\overrightarrow n = \left( { - 2;1; - 1} \right)\). Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right).\)
Câu 276: Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\) cho \(A\left( {1;2;1} \right),\,B\left( {2;2;3} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \). A. \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;2} \right)\). B. \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0; - 2} \right)\). C. \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{3}{2};2;2} \right)\). D. \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;4;4} \right)\). Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;2 - 2;3 - 1} \right) = \left( {1;0;2} \right)\)
Câu 277: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\). Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \(\left( S \right)\). A. \(I\left( { - 1;\,1;\,3} \right)\) và \(R = \sqrt 3 \). B. \(I\left( { - 1;\,1;\,3} \right)\) và \(R = 3\). C. \(I\left( {1;\, - 1;\, - 3} \right)\) và \(R = \sqrt 3 \). D. \(I\left( {1;\, - 1;\, - 3} \right)\) và \(R = 3\). Spoiler: Xem đáp án \(\left( S \right):\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\). Suy ra mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,1;\,3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 \).
Câu 278: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0\). Đường thẳng đi qua A và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 4} \right)\) cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc \({90^0}\). Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau? A. \(J\left( { - 3;2;7} \right)\) B. \(H\left( { - 2; - 1;3} \right)\) C. \(K\left( {3;0;15} \right)\) D. \(I\left( { - 1; - 2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình đường thẳng d qua A và có VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 4} \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = - 3 - 4t\end{array} \right.\) Vì \(B \in d \Leftrightarrow B\left( {3b + 1;4b + 2; - 4b - 3} \right)\) kết hợp \(B \in \left( P \right)\), thay vào phương tình (P) tìm được \(b = - 1 \Rightarrow B\left( { - 2; - 2;1} \right)\) Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) cũng là vecto chỉ phương của AA’ nên: Phương tình tham số của AA’ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = - 3 - t\end{array} \right.\) \(A' \in AA' \Rightarrow A'(1 + 2t;2 + 2t; - 3 - t)\) Mặc khác \(A' \in \left( P \right)\) thay vào phương trình (P) tìm được \(A'\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\). Do điểm M luôn nhìn đoạn AB dưới góc \({90^0}\) nên: \(M{A^2} + M{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow M{B^2} = A{B^2} - M{A^2} \le A{B^2} - A'{A^2} = A'{B^2}\) Độ dài MB lớn nhất khi \(M \equiv A'.\) Ta có: \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {A'B} = (1;0;2).\) Vậy phương trình của MB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = - 2}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\) Ta thấy \(I\left( { - 1; - 2;3} \right)\) thuộc MB.
Câu 279: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(M\left( { - 1;1;2} \right),N\left( {1;4;3} \right),P\left( {5;10;5} \right)\). Khẳng định nào sau đây sai? A. \(MN = \sqrt {14} \) B. Các điểm O, M, N, P cùng thuộc một mặt phẳng C. Trung điểm của NP là \(I\left( {3;7;4} \right)\) D. M, N, P là ba đỉnh của một tam giác Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;3;1} \right);\overrightarrow {MP} = \left( {6;9;3} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {MP} = 3\overrightarrow {MN} \) nên M, N, P thẳng hàng suy ra khẳng định D sai.
Câu 280: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 10\) và có mặt phẳng \(\left( P \right): - 2x + y + \sqrt 5 z + 9 = 0\). Gọi (Q) là tiếp diện của (S) tại \(M\left( {5;0;4} \right)\). Tính góc giữa (P) và (Q). A. \({45^0}\) B. \({60^0}\) C. \({120^0}\) D. \({30^0}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;4). Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \left( {3;1;0} \right)\) Mặt phẳng (Q) qua \(M\left( {5;0;4} \right)\) và vuông góc với IM có phương trình là \(3x + y - 15 = 0\) Suy ra \(\cos \left( {\widehat {\left( P \right);\left( Q \right)}} \right) = \left| {\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {{n_p}} ;\overrightarrow {{n_Q}} }} \right)} \right| = \frac{{\left| { - 6 + 1} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {(P);(Q)}} \right) = {60^0}.\)
Câu 281: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) và hai điểm \(A\left( { - 1;3;1} \right),B\left( {0;2; - 1} \right)\). Tìm tọa độ điểm C thuộc d sao cho diện tích của tam giác ABC bằng \(2\sqrt 2 \) A. \(C\left( { - 5; - 2;4} \right)\) B. \(C\left( { - 3; - 1;3} \right)\) C. \(C\left( { - 1;0;2} \right)\) D. \(C\left( {1;1;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Do \(C \in d:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1} \Rightarrow C\left( { - 1 - 2t; - t;2 + t} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {CA} = \left( {2t;t + 3; - t - 1} \right);\overrightarrow {CB} = \left( {2t + 1;t + 2; - t - 3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right] = \left( { - 3t - 7;3t - 1; - 3t - 3} \right)\) Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right]} \right| = 2\sqrt 2 \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right]} \right| = 4\sqrt 2 \) \( \Rightarrow {\left( { - 3t - 7} \right)^2} + {\left( {3t - 1} \right)^2} + {\left( { - 3t - 3} \right)^2} = 32\) \( \Leftrightarrow 27{t^2} + 54t + 59 = 32 \Leftrightarrow 27{\left( {t + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow C\left( {1;1;1} \right).\)
