Câu 282: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + kt}\\{y = t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right..\) Tìm giá trị của k để \({d_1}\) cắt \({d_2}.\) A. \(k = - 1\) B. \(k = 0\) C. \(k = 1\) D. \(k = - \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t'}\\{y = 2 - 2t'}\\{z = 3 + t'}\end{array}{\rm{ }}} \right.\left( {t' \in \mathbb{R}} \right)\) Giao điểm nếu có của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + kt = 1 + t'}\\{t = 2 - 2t'}\\{ - 1 + 2t = 3 + t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{kt = t'}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t' = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Do đó để \({d_1}\) cắt \({d_2}\) thì nghiệm \(t = 2,t' = 0\) phải thỏa mãn \(kt = t' \Rightarrow k = 0.\)
Câu 283: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z + 6 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3. A. \(M\left( {0;0;3} \right)\) B. \(M\left( {0;0;21} \right)\) C. \(M\left( {0;0; - 15} \right)\) D. \(M\left( {0;0;3} \right),M\left( {0;0; - 15} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có M thuộc tia Oz\( \Rightarrow M\left( {0;0;t} \right){\rm{ }}\left( {t \ge 0} \right)\) \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {t + 6} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3 > 0\\t = - 15 < 0\,(loai)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow t = 3\) Vậy \(M\left( {0;0;3} \right).\)
Câu 284: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + ay + 3z - 5 = 0\) và \(\left( Q \right):4x - y - \left( {a + 4} \right)z + 1 = 0\). Tìm a để (P) và (Q) vuông góc với nhau. A. \(a = 0\) B. \(a = 1\) C. \(a = \frac{1}{3}\) D. \(a = - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;a;3} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4; - 1; - a - 4} \right)\) Khi đó \(\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Leftrightarrow 8 - a - 3\left( {a + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow a = - 1.\)
Câu 285: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) lên \(\Delta \). A. \(H\left( { - 1; - 2;0} \right)\) B. \(H\left( {1; - 3;2} \right)\) C. \(H\left( { - 3; - 1; - 2} \right)\) D. \(H\left( {3; - 4;4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 2 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) Mà \(H \in \Delta \Rightarrow H\left( {2t - 1; - t - 2;2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2t - 3;1 - t;2t - 1} \right)\) VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1;2} \right)\) và \(AH \bot \Delta \) nên\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\) \( \Rightarrow 2\left( {2t - 3} \right) + t - 1 + 2\left( {2t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {1; - 3;2} \right)\)
Câu 286: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2my + 6z + 13 = 0\) là phương trình của mặt cầu. A. \(m \ne 0\) B. \(m < 0\) C. \(m > 0\) D. \(m \in \mathbb{R}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu khi: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - m\\c = - 3\\d = 13\end{array} \right. \Rightarrow 4 + {m^2} + 9 - 13 > 0 \Leftrightarrow m \ne 0.\)
Câu 287: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và điểm \(I\left( {2; - 1;1} \right).\) Viết phương trình mặt cầu cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông cân tại I. A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9.\) B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.\) C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 8.\) D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{80}}{9}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác IAB vuông tại cân I nên \(IH \bot AB\) và \(IA = \sqrt 2 .IH.\) d đi qua M(2;1;-1) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\) \(\overrightarrow {IM} = \left( {0;2; - 2} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right) = \left( {2; - 4; - 4} \right) \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right)} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 2.\) Do đó: \(IA = \sqrt 2 .IH = \sqrt 2 .d\left( {I,d} \right) = 2\sqrt 2 ,\)suy ra mặt cầu có phương trình: \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 1)^2} = 8.\)
Câu 288: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{x}} - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 10{\rm{x}} + 6y - 10{\rm{z}} + 39 = 0.\) Từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N. Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng \(MN = 4.\) A. 5 B. 3 C. \(\sqrt 6 .\) D. \(\sqrt {11} .\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm I(5;-3;5), bán kính \(R = 2\sqrt 5 .\) Ta giác IMN vuông tại N nên \(IM = \sqrt {I{N^2} + M{N^2}} = \sqrt {20 + 16} = 6\) Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P): \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5 - 2.\left( { - 3} \right) + 2.5 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 6 = IM\) Do đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Ta có: Đường thẳng IM đi qua I(5;-3;5) vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm VTCP nên có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 3 - 2t\\z = 5 + 2t\end{array} \right.\) \(M \in IM \Rightarrow M\left( {t + 5; - 3 - 2t;2t + 5} \right)\) Mà \(M \in \left( P \right) \Rightarrow t + 5 - 2\left( { - 2t - 3} \right) + 2\left( {2t + 5} \right) - 3 = 0 \Rightarrow t = - 2 \Rightarrow M\left( {3;1;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {11} .\)
Câu 289: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - 3y + z - 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.\) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. d cắt và không vuông góc với (P). B. d song song với (P). C. d vuông góc với (P). D. d nằm trên (P). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 3;1} \right),\,\,\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 1} \right).\) Mặt khác: \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} = 4 - 3 - 1 = 0\) Suy ra d song song hoặc d nằm trên (P). Hơn nữa d qua A(1;0;-1), mà A thuộc (P) nên d nằm trên (P).
Câu 290: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(A\left( { - 1;0;2} \right)\) và song song hai mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - 3y + 6{\rm{z}} + 4 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y - 2{\rm{z}} + 4 = 0.\) A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 3;6} \right)\\\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {0;10;5} \right].\) Đường thẳng d qua \(A\left( { - 1;0;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \frac{1}{5}.\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {0;2;1} \right)\) là 1 VTCP. Vậy phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Câu 291: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;0} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {4;2; - 1} \right)\) và các mệnh đề sau: \(\left( I \right)\,\,\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) \(\left( {II} \right)\,\,\overrightarrow b .\overrightarrow c = 5\) \(\left( {III} \right)\,\,\overrightarrow a \) cùng phương \(\overrightarrow c \) \(\left( {IV} \right)\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {14} \) Trong bốn mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2 - 2 + 0 = 0 \Rightarrow A\) đúng; \(\overrightarrow b .\overrightarrow c = 4 + 4 - 3 = 5 \Rightarrow B\)đúng; \(\frac{2}{4} \ne - \frac{1}{2} \Rightarrow C\) sai. \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {14} \Rightarrow D\) đúng.
