Câu 21: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\) theo một đường tròn có tọa độ tâm là: A. \(\left( {1;1; - 2} \right)\) B. \(\left( {1; - 2;1} \right)\) C. \(\left( { - 2;1;1} \right)\) D. \(\left( { - 1; - 23} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 1;2;2} \right)\) . VTPT của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\). Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) là: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t}\\{y = 2 + t}\end{array}}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\). Gọi J là tâm cần tìm. Khi đó \(J = \left( P \right) \cap d \Rightarrow J\left( { - 2;1;1} \right).\)
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 4;4;0} \right),B\left( {2;0;4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)\). Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: A. 3 B. \(2\sqrt 2 \) C. \(3\sqrt 2 \) D. \(\sqrt {13} \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 4;4} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {5; - 2; - 1} \right)\). Khi đó: \(d\left( {C;AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \sqrt {13} .\)
Câu 23: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABC có \(S\left( {2;2;6} \right),A\left( {4;0;0} \right),B\left( {4;4;0} \right),C\left( {0;4;0} \right)\). Thể tích khối chóp S.ABC là: A. 48 B. 16 C. 8 D. 24 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( {2; - 2; - 6} \right),\) \(\overrightarrow {SB} = \left( {2;2; - 6} \right),\overrightarrow {SC} = \left( { - 2;2; - 6} \right) \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}\left( {\left[ {\overrightarrow {SA} ;\overrightarrow {SB} } \right]\overrightarrow {SC} } \right) = 16.\)
Câu 24: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;a;0), C(2;2;2) \((a \ne 0)\). Tìm a để mặt phẳng (P) song song với đường thẳng \((d):\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}.\) A. \(a = - 1\) B. \(a = - \frac{3}{2}\) C. \(a = 1\) D. \(a = \frac{2}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{c} = 1\) Vì (P) đi qua \(C(2;2;2) \Rightarrow \frac{4}{a} + \frac{2}{c} = 1.\) Mặt phẳng (P) có 1 vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {\frac{1}{a};\frac{1}{a};\frac{1}{c}} \right)\) Đường thẳng (d) có 1 vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (3;3;4)\) \((d)//(P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow a = 0\\M(2;0;0) \in (d);M \notin (P)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{a} + \frac{2}{c} = 0\\\frac{2}{a} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{a} + \frac{2}{c} = 0\\a \ne 2\end{array} \right.\) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{a} + \frac{2}{c} = 1\\\frac{3}{a} + \frac{2}{c} = 0\\a \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = \frac{{ - 2}}{3}\\a \ne 2\end{array} \right.\) Vậy a= 1 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 25: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;-1) và mặt cầu \((S):{x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 3.\) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A cắt (S) tại hai điểm B, C sao cho BC có độ dài lớn nhất. A. \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}.\) B. \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}.\) C. \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}.\) D. \(\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Cách 1: Hai điểm B, C thuộc (S) có độ dài lớn nhất khi BC là một đường kính của (S), do đó đường thẳng (d) đi qua A(2;-1;-1) và nhận vecto \(IA(2; - 2; - 3)\) làm 1 vecto chỉ phương (trong đó I là tâm của mặt cầu (S)). Phương trình đường thẳng (d) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}.\) Cách 2: Có thể dùng phương pháp loại trừ: Đường thẳng có phương trình ở phương án A đi qua A nhưng không đi qua tâm I nên loại. Đường thẳng có phương trình ở phương án B đi qua tâm I nhưng không đu qua A nên loại. Đường thẳng có phương trình ở phương án D đi qua A nhưng không đi qua tâm I nên loại.
Câu 26: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(({d_1})\) và \(({d_2})\) có phương trình: \(({d_1}):\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 6}}{3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \(({d_1})\)và song song với \(({d_2})\) A. \((P):5x - 4y + z - 2 = 0.\) B. \((P):5x - 4y + z - 16 = 0.\) C. \((P):5x - 4y + z = 0\) D. \((P):5x - 4y + z + 10 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Cách 1: Đường thẳng \(({d_1})\) đi qua điểm M(0;1;6) và có 1 vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow {{a_1}} = (1;2;3).\) Đường thẳng \(({d_2})\) có 1 vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow {{a_2}} = (1;1; - 1).\) Mặt phẳng (P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_1}} \)và \(\overrightarrow {{a_2}} \) Chọn 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n = {\rm{[}}\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} {\rm{]}} = ( - 5;4; - 1)\) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0;1;6) và nhận \(\overrightarrow n = ( - 5;4; - 1)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là: \( - 5(x - 0) + 4(y - 1) - 1(z - 6) = 0 \Leftrightarrow 5x - 4y + z - 2 = 0\) Cách 2: Ta có thể sử dụng phương pháp loại trừ bằng cách: Ta thấy mặt phẳng ở phương án B chứa \(({d_2})\) nên loại. Mặt phẳng ở phương án C song song và không chứa \(({d_1})\) nên loại Mặt phẳng ở phương án D song song và không chứa \(({d_1})\) nên loại.
Câu 27: Trong không gian toạ độ Oxyz, giá trị thực của tham số m để cặp mặt phẳng sau vuông góc: \(\begin{array}{l}(\alpha ):2x + my + 2mz + 4 = 0\\(\beta ):6x - y - z + 3 = 0\end{array}\) A. m = 4 B. m = 3 C. m = -3 D. m = -4. Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2;m;2m),\) mặt phẳng \((\beta )\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (6; - 1; - 1).\) Để \((\alpha ) \bot (\beta )\) thì \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} = 0 \Leftrightarrow 12 - m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 4.\)
Câu 28: Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1;2;3) và B(3;0;3). A. \(x - y - 1 = 0.\) B. \(x - y - 3 = 0.\) C. \(4x + 2y + 6z - 28 = 0.\) D. \(4x + 2y + 6z - 6 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2;1;3) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = (1; - 1;0).\) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là \(1(x - 2) - 1(y - 1) + 0(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\)
Câu 29: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\) và mặt phẳng \((P):x + 3y + z + 1 = 0.\) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. (d) cắt và không vuông góc với (P) B. (d) nằm trong (P) C. (d) vuông góc với (P) D. (d) song song với (P) Spoiler: Xem đáp án Đường thằng (d) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_d}} = (1; - 1;2).\) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = (1;3;1)\) Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 1.1 - 1.3 + 2.1 = 0\) Mặt khác: \(M(1;1;2) \in (d)\) nhưng \(M \in (P)\) suy ra (d)//(P) Vậy trong các mệnh đề đã cho, mệnh đề đúng là: “(d) song song với (P)”
Câu 30: Trong không gian toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2;-5;-4) và bán kính R=3. A. \((S);{(x - 2)^2} + {(y - 5)^2} + {(z - 4)^2} = 9.\) B. \((S):{(x + 2)^2} + {(y + 5)^2} + {(z + 4)^2} = 9.\) C. \((S):{(x + 2)^2} + {(y + 5)^2} + {(z + 4)^2} = 3.\) D. \((S):{(x - 2)^2} + {(y - 5)^2} + {(z - 4)^2} = 3.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2;-5;-4) và bán kinh R=3 là: \((S):{(x + 2)^2} + {(y + 5)^2} + {(z + 4)^2} = 9.\)
