Câu 292: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + 1 = 0.\) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. \(\left( P \right)\) song song với trục Oz. B. Điểm \(A\left( { - 1; - 1;5} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\). C. Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). D. \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y - 5{\rm{z}} + 1 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 1;0} \right),\,\,\overrightarrow {{u_{Oz}}} = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{u_{Oz}}} = 0\) Mặt khác (P) không chứa O(0;0) nên (P)//Oz. Điểm \(A\left( { - 1; - 1;5} \right) \in \left( P \right).\) \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {1;2; - 5} \right).\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0 \Rightarrow \,\,\left( P \right) \bot \left( Q \right).\)
Câu 293: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(B\left( {1;0;3} \right).\) A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}.\) B. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\) C. \(\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}.\) D. \(\frac{{x - 3}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;2} \right)\) Đường thẳng AB đi qua B(1;0;3) và nhận \(\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) làm VTCP nên có phương trình là: \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)
Câu 294: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {1; - 4;3} \right)\) và đi qua \(A\left( {5; - 3;2} \right).\) A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16.\) B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18.\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18.\) D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(IA = \sqrt {18} \) Mặt cầu tâm I, đi qua A nên có bán kính R=IA. Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18.\)
Câu 295: Cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và \(B\left( {4;5; - 2} \right)\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(3x - 4y + 5z + 6 = 0\). Đường thẳng AB cắt (P) tại M. Tính tỉ số \(\frac{{MB}}{{MA}}.\) A. 2 B. 4 C. \(\frac{1}{4}\) D. 3 Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} \left( {3;3; - 3} \right)\) suy ra phương trình dt AB là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\) Với \(M = AB \cap \left( P \right)\) \( \Rightarrow M \in AB \Rightarrow M\left( {1 + 3t;2 + 3t;1 - 3t} \right)\) \(M \in \left( P \right) \Rightarrow 3\left( {1 + 3t} \right) - 4\left( {2 + 3t} \right) + 5\left( {1 - 3t} \right) + 6 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow M\left( {2;3;0} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MB} \left( {2;2; - 2} \right) \Rightarrow MB = \sqrt {12} \) \(\overrightarrow {MA} \left( { - 1; - 1; - 1} \right) \Rightarrow MA = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MA}} = 2.\)
Câu 296: Mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2; - 1} \right)\) có phương trình là: A. \(3x - 2y - z + 4 = 0\) B. \(3x - 2y - z - 4 = 0\) C. \(3x - 2y + z = 0\) D. \(x + 2y + 3z + 4 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - z + 4 = 0.\)
Câu 297: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;1;2} \right),B\left( {1;1;1} \right),C\left( {2; - 2;3} \right)\) và mặt phẳng\(\left( P \right):x - y + z + 3 = 0.\) Tìm điểm M trên (P) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. A. \(M\left( {1;0;2} \right)\) B. \(M\left( {0;1;1} \right)\) C. \(M\left( { - 1;2;0} \right)\) D. \(M\left( { - 3;1;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra \(G\left( {1;0;2} \right)\) Gọi G’ là hình chiếu của G lên (P). Đường thẳng \(GG' \bot \left( P \right) \Rightarrow GG'\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm vecto chỉ phương.\( \Rightarrow GG':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = - t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right. \Rightarrow G\left( {1 + t; - t;2 + t} \right)\) \(G \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t - \left( { - t} \right) + 2 + t + 3 = 0 \Leftrightarrow 3t = - 6 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow G\left( { - 1;2;0} \right)\) Gọi \(M \in \left( P \right)\) có \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| \ge \left| {3\overrightarrow {G'G} } \right|\) Vậy điểm M trên (P) để \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M \equiv G\left( { - 1;2;0} \right).\)
Câu 298: Viết phương trình mặt phẳng qua \(A\left( {1;1;1} \right),\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z - 2 = 0,\) \(\left( \beta \right):x - y + z - 1 = 0.\) A. \(y + z - 2 = 0\) B. \(x + y + z - 3 = 0\) C. \(x + z - 2 = 0\) D. \(x - 2y + z = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\left( \alpha \right):x + y - z - 2 = 0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\) \(\left( \beta \right):x - y + z - 1 = 0\) có vecto pháp tiuến \(\overrightarrow a = \left( {1; - 1;1} \right)\) Ta có: \(\left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow a } \right) = \left( {0; - 2; - 2} \right).\) Khi đó mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = - \frac{1}{2}.\left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow a } \right) = \left( {0;1;1} \right)\) Mặt khác mặt phẳng đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\) nên có phương trình \(1.\left( {y - 1} \right) + 1.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0.\)
Câu 299: Trong không gian với hệ trục Oxyz.cho \(H\left( {1;4;3} \right).\) Mặt phẳng (P) qua H cắt các tia Ox, Oy, Oz tại 3 điểm là đỉnh của một tam giác nhận H làm trực tâm. Phương trình mặt phẳng (P) là: A. \(x + 4y + 3z + 26 = 0\) B. \(x + 4y + 3z - 16 = 0\) C. \(x - 4y - 3z + 24 = 0\) D. \(x - 4y - 3z + 12 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot CH}\\{AB \bot CO}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {CHO} \right) \Rightarrow AB \bot OH\) Tương tự: \(OH \bot AC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\) Suy ra (P) nhận \(\overrightarrow {OH} = \left( {1;4;3} \right)\) làm vecto pháp tuyến \( \Rightarrow \left( P \right):\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 4} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0\) Hay \(\left( P \right):x + 4y + 3z - 26 = 0.\)
Câu 300: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) có hình chiếu vuông góc trên trục Ox là điểm: A. \(\left( {1;0;0} \right)\) B. \(\left( {0;2;0} \right)\) C. \(\left( {0;0;3} \right)\) D. \(\left( {0;0;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hình chiếu của \(M\left( {1;2;3} \right)\) lên Ox là \(\left( {1;0;0} \right)\) (tung độ y và cao độ z bằng 0).
Câu 301: Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 4 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0.\) Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn này. A. 4 B. 3 C. 5 D. \(\sqrt {34} \) Spoiler: Xem đáp án Gọi giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng là đường tròn tâm O, bán kính OE. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {5^2} \Rightarrow \left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) , bán kính \(R = IE = 5\) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = IO = \frac{{\left| {2.1 + 2\left( { - 2} \right) - 3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3\) \( \Rightarrow r = OE = \sqrt {I{E^2} - I{O^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)
