Câu 302: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 5 + 7t}\\{z = 4 + \left( {m - 3} \right)t}\end{array}} \right.;\left( P \right)3x - 7y + 13z = 0.\) Tìm giá trị của tham số m để d vuông góc với (P). A. 13 B. -10 C. -13 D. 10 Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 3;7;m - 3} \right)\) , (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 7;13} \right)\). Để \(d \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u = k\overrightarrow n \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{3} = \frac{7}{{ - 7}} = \frac{{m - 3}}{{13}} \Rightarrow m - 3 = - 13 \Leftrightarrow m = - 10.\)
Câu 303: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;-1;0), B(0;3;-4). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính AB? A. \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 9.\) B. \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 3.\) C. \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 9.\) D. \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 3.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là tâm mặt cầu đường kính AB suy ra I là trung điểm của AB nên: \(I\left( {\frac{{2 + 0}}{2};\frac{{ - 1 + 3}}{2};\frac{{0 - 4}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( {1;1; - 2} \right).\) Mà \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4; - 4} \right) \Rightarrow AB = 6 \Rightarrow R = 3 \Rightarrow \left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2}{(z + 2)^2} = 9.\)
Câu 304: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M(1;2;3)\); \(A(1;0;0)\) ; \(B(0;0;3).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B đến \(\Delta \) lớn nhất. A. \(\Delta :\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\) . B. \(\Delta :\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{2}\). C. \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{6} = \frac{{z - 3}}{2}\). D. \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(d(A;\Delta ) + d(B;\Delta ) \le MA + MB\). Để tổng khoảng cách từ các điểm A; B đến \(\Delta \) lớn nhất thì: \(d(A;\Delta ) + d(B;\Delta ) = MA + MB \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MA \bot \Delta }\\{MB \bot \Delta }\end{array}} \right.\). Suy ra d qua M có VTCP \(\left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right) = \left( { - 6;3; - 2} \right) = \left( {6; - 3;2} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) cần tìm là: \(\Delta :\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{2}\).
Câu 305: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((P):x + y - z + 1 = 0,\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (P). A. \(3x + y + 4z - 1 = 0.\) B. \(3x - y + 4z + 1 = 0.\) C. \(3x + y + 4z + 1 = 0.\) D. \(x + 3y + 4z + 1 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Xét đường thẳng (d) có \(\overrightarrow {{u_{(d)}}} = (2; - 2; - 1)\) và \((P):\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (1;1; - 1) \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_{(d)}}} ;\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right) = (3;1;4).\) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} \bot \overrightarrow {{u_{(d)}}} \\\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} \bot \overrightarrow {{n_{(P)}}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} = \left( {\overrightarrow {{u_{(d)}}} ;\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right) = (3;1;4)\) Mặt khác \(\left( \alpha \right)\) đi qua M(1;0;-1) thuộc d, nên có phương trình là: \(\left( \alpha \right):3(x - 1) + 1(y - 0) + 4(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 4z + 1 = 0.\)
Câu 306: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((P):x + y - 2z + 2 = 0,\) đường thẳng \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng \(\Delta \) với mặt phẳng (P). A. \(I( - 1;3;0).\) B. \(I( - 1;1;0).\)\) C. \(I(1; - 3;0).\) D. \(I( - 3;5;0).\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = - t\end{array} \right.\) Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z=0. Gọi \(M = d \cap (Oxy)\) nên M là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = - t\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow M( - 1;1;0).\) Gọi \(A(0; - 1; - 1) \in d\) và B là hình chiếu của A trên mp (Oxy) suy ra tọa độ B(0;-1;0) (hoành độ và cao độ bằng 0). Khi đó \(B(0; - 1;0) \Rightarrow \overrightarrow {BM} = ( - 1;2;0) \Rightarrow \)phương trình đường thẳng \(\left( {BM} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = 1 + 2t\\z = 0\end{array} \right..\) Điểm \(I( - 1 - t;1 + 2t;0) = \left( {BM} \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow - 1 - t + 1 + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow I(1; - 3;0).\)
Câu 307: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2mx - 2(m - 1)y - mz + m - 2 = 0.\) Với mọi \(m \in \mathbb{R},\) mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right)\) luôn đi qua một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. \(r = 3.\) B. \(r = \sqrt 2 .\) C. \(r = \sqrt 3 .\) D. \(r = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu có bán kính \(R = \sqrt {{m^2} + {{(m - 1)}^2} + {{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2} - m + 2} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3m}}{2} - 1} \right)}^2} + 2} \ge \sqrt 2 \) do đó bán kính của đường tròn đó nhỏ hơn \(\sqrt 2 \)nên chỉ có đáp án B thỏa mãn.
Câu 308: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = 0\\z = 3 + 2t\end{array} \right..\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \({d_1}\) cắt và vuông góc với \({d_2}.\) B. \({d_1}\) vuông góc và không cắt với \({d_2}.\) C. \({d_1}\) chéo và vuông góc với \({d_2}.\) D. \({d_1}\) cắt và không vuông góc với \({d_2}.\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \({d_1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1;1} \right)\) đi qua điểm \({M_1} = \left( {1;0; - 1} \right)\) Đường thẳng \({d_2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;0;2} \right)\) đi qua điểm \({M_2} = \left( { - 1;0;3} \right)\) Ta có \(\left( {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \left( {2; - 5;1} \right),\overrightarrow {M{}_1{M_2}} = \left( { - 2;0;4} \right) \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right).\overrightarrow {M{}_1{M_2}} = 0 \Rightarrow d{}_1 \cap {d_2}\) Mà: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Rightarrow {u_1} \bot {u_2}.\)
Câu 309: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;0;4} \right).\) Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)? A. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( { - 2;8;2} \right).\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 4;2; - 1} \right).\) C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 1;2; - 4} \right).\) D. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 4; - 1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có phương trình đoạn chắn của \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{{ - 4}} = 1 \Rightarrow \left( {ABC} \right):2x - 4y - x - 4 = 0.\)
Câu 310: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết \(A\left( { - 1;0;1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right),C\left( {0;1;1} \right).\) Đường cao AH của tam giác ABC có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong các vectơ sau? A. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2; - 1} \right).\) B. \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 3;2;1} \right).\) C. \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;1; - 1} \right).\) D. \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 1; - 2; - 1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {0;1; - 1} \right);\overrightarrow {AC} \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow {BC} \left( {1;0;1;} \right)\) Suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là: \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = (1; - 1; - 1).\) AH là đường cao của tam giác ABC nên AH sẽ vuông góc với BC. Mặt khác AH cũng vuông góc với giá của VTPT mặt phẳng (ABC). Suy ra AH có VTCP là: \(\overrightarrow u = k.\left( {\overrightarrow {{n_{ABC}}} ;\overrightarrow {BC} } \right) = k( - 1; - 2;1)\left( {k \ne 0} \right)\) Với \(k = - 1 \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\) là VTCP của AH.
Câu 311: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;-3). Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua trục Oy. A. \(M'( - 2; - 1; - 3).\) B. \(M'( - 2; - 1;3).\) C. \(M'(2; - 1; - 3).\) D. \(M'(2;1; - 3).\) Spoiler: Xem đáp án Hình chiếu của M lên Oy là: H(0;-1;0) (tung độ với cao độ bằng 0). H là trung điểm của MM’, nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2}\\{y_H} = \frac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2}\\{z_H} = \frac{{{z_M} + {z_{M'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = - 2\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = - 1\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = 3\end{array} \right.\)
