Câu 312: Trong không gian cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z + 3 = 0\). Gọi M(a; b; c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất. Tính tổng a+b+c. A. \(a+b+c=5\) B. \(a+b+c=6\) C. \(a+b+c=7\) D. \(a+b+c=8\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3. Gọi d là đường thẳng đi qua I(1;2;3) và vuông góc (P). Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 - 2t\\ z = 3 + t \end{array} \right.\). Gọi A,B lần lượt là giao của d và (S), khi đó tọa độ A, B ứng với t là nghiệm của phương trình: \({\left( {1 + 2t - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2t - 2} \right)^2} + {\left( {3 + t - 3} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 1 \end{array} \right.\) Với \(t = 1 \Rightarrow A\left( {3;0;4} \right) \Rightarrow d\left( {A;(P)} \right) = \frac{{13}}{3}.\) Với \(t = - 1 \Rightarrow B\left( { - 1;4;2} \right) \Rightarrow d\left( {B;(P)} \right) = \frac{5}{3}.\) Với mọi điểm M(a;b;c) trên (S) ta luôn có \(d\left( {B;(P)} \right) \le d\left( {M;(P)} \right) \le d\left( {A;(P)} \right).\) Vậy khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất bằng \(\frac{13}{3}\) khi M(3;0;4). Do đó a+b+c=7.
Câu 313: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1;5;0} \right),B\left( {3;3;6} \right)\) và \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}.\) Tìm điểm M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. A. \(M(-1;1;0)\) B. \(M(3;-1;4)\) C. \(M(-3;2;-2)\) D. \(M(1,0,2)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\) M thuộc d nên tọa độ M có dạng: \(M( - 1 + 2a;1 - a;2a)\) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;6} \right)\), đường thẳng AB đi qua A và nhận \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = (1; - 1;3)\) làm VTCP nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 5 - t\\ z = 3t \end{array} \right.\) Gội H là hình chiếu vuông góc của M lên AB. H thuộc AB nên tọa độ H có dạng \(H\left( {1 + b;5 - b;3b} \right).\) \(\begin{array}{l} \overrightarrow {MH} = (b - 2a + 2; - b + a + 4;3b - 2a)\\ \\ \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {MH} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {MH} = 0\\ \\ \Rightarrow 2b - 4a + 4 + 2b - 4a - 8 + 18b - 12a = 0\\ \\ \Leftrightarrow - 8a + 22b - 4 = 0 \Leftrightarrow - 9a + 11b - 2 = 0 \end{array}\) \(\Rightarrow b = \frac{{9a + 2}}{{11}} \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {\frac{{24 - 13a}}{{11}};\frac{{2a + 42}}{{11}};\frac{{5a + 6}}{{11}}} \right)\) \(\Rightarrow MH = \frac{1}{{11}}\sqrt {{{\left( {24 - 13a} \right)}^2} + {{\left( {2a + 42} \right)}^2} + {{\left( {5a + 6} \right)}^2}}\) Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất khi MH ngắn nhất. Từ tọa độ \(M( - 1 + 2a;1 - a;2a)\) và tọa độ M ở các phương án A, B, C, D ta suy ra A và thay vào (*). Ta thấy với a=1 thì MH nhỏ nhất.
Câu 314: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\)và mặt phẳng \((P):2x + y - z = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (P). A. \(2x - y - z = 0\) B. \(x - 2y + 1 = 0\) C. \(x+2y+z=0\) D. \(x-2y-1=0\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\overrightarrow u = (2;1;3)\) là VTCP của d. \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\) là VTPT của (P). Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;8;0} \right)\) Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận \(\overrightarrow {n'} = - \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right] = (1; - 2;0)\) làm VTPT. (Q) chứa d nên đi qua điểm A(1;0;-1) thuộc d. Vậy phương trình (Q) là: \(1(x - 1) - 2(y - 0) + 0(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0.\)
Câu 315: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 - t\\ z = - 2 - 2t \end{array} \right.;\;{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t'\\ y = 1 - t'\\ z = 1 \end{array} \right.\). Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2. A. Song song B. Chéo nhau C. Cắt nhau D. Trùng nhau Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d1 có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1; - 2} \right).\) Đường thẳng d2 có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1;0} \right).\) Ta thây: Không tồn tại k khác 0 để \(\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}}\) Suy ra hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau. Giải hệ phương trình giao điểm của hai đường thẳng: \(\left\{ \begin{array}{l} 1 + t = 2 + t'(1)\\ 2 - t = 1 - t'(2)\\ - 2 - 2t = 1(3) \end{array} \right.\) Giải hệ gồm 2 phương trình (1) (3) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} t = - \frac{3}{2}\\ \\ t' = - \frac{5}{2} \end{array} \right.\) Thỏa (2). Vậy hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 316: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 8z - 10 = 0;(P):x + 2y - 2z + 2017 = 0\) . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với (S). A. \(x + 2y - 2z + 25 = 0\) hoặc \(x + 2y - 2z + 1 = 0\) B. \(x + 2y - 2z + 31 = 0\) hoặc \(x + 2y - 2z--5 = 0\) C. \(x + 2y - 2z + 5 = 0\) hoặc \(x + 2y - 2z - 31 = 0\) D. \(x + 2y - 2z - 25 = 0\) hoặc \(x + 2y - 2z - 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu S có tâm I(1;-3;4) và bán kính 6. (Q): x+2y-2z+d=0 ( do (Q) song song với (P)) \({d_{1/(Q)}} = \frac{{|1.1 + 2( - 3) - 2.4 + d|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 6 \Rightarrow 6.3 = | - 13 + d| \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} d = - 5\\ d = 31 \end{array} \right.\) Vậy phương trình mặt phẳng (Q) cần tìm là:\(x + 2y - 2z + 31 = 0\) hoặc \(x + 2y - 2z--5 = 0\)
Câu 317: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;-1), mặt phẳng (P): x+2y-2z+3=0. Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ M thuộc d sao cho \(OM=\sqrt 3 \). A. \((1;-1;1)\) hoặc \(\left( {\frac{7}{3};\frac{5}{3};\frac{{ - 5}}{3}} \right)\) B. \((1;-1;1)\) hoặc \(\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) C. \((3;3;-3)\) hoặc \(\left( {\frac{7}{3};\frac{5}{3};\frac{{ - 5}}{3}} \right)\) D. \((3;3;-3)\) hoặc \(\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Vectơ pháp tuyến của (P) chính là vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow n = (1;2; - 2) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l} x = t + 2\\ y = 2t + 1\\ z = - 2t - 1 \end{array} \right.\) Gọi M(a-2;2a-1;-2a+1). Ta có \(OM = \sqrt{3}\) nên: \({(a + 2)^2} + {(2a + 1)^2} + {( - 2a - 1)^2} = 3 = 9{a^2} + 12a + 6 = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 1\\ a = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\) Suy ra M\((1;-1;1)\) hoặc \(\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\)
Câu 318: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = - t\\ y = 2 + t\\ z = 3 + t \end{array} \right.\) Tìm cao độ giao điểm của d và mặt phẳng (ABC). A. 3 B. 6 C. 9 D. -6 Spoiler: Xem đáp án Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) Gọi M là giao điểm của d và (ABC). M(-a;2+a;3+a). Thay vào ta có: \(\frac{{ - a}}{1} + \frac{{a + 2}}{2} + \frac{{a + 3}}{3} = 1 \Rightarrow a = 6\) Cao độ của điểm M là: 6+3=9.
Câu 319: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x-z - 3 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). A. \(\overrightarrow n = (2; - 1; - 3)\) B. \(\overrightarrow n = (2;0;1)\) C. \(\overrightarrow n = (0;2; - 1)\) D. \(\overrightarrow n = (2;0; - 1)\) Spoiler: Xem đáp án (P): Ax+By+Cz+d=0. Véctơ pháp tuyến của (P) có tọa độ \(\overrightarrow n = (A;B;C).\)
Câu 320: Trong không gian với hệ tọa độ cho bốn điểm A(1; -2; 0), B(0; -1; 1), C(2;1;-1), D(3;1;4). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó? A. 1 B. 4 C. 7 D. Vô số Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} ( - 1;1;1),\overrightarrow {AC} (1;3; - 1),\overrightarrow {AD} (2;3;4) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 24 \ne 0\) \(\Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}\) không đồng phẳng. Có 2 loại mặt phẳng thỏa mãn đề bài đó là: - Loại 1: Mặt phẳng đi qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung định: Có 4 mặt phẳng loại này, vì có 4 đỉnh. -Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của 4 cạnh Có 3 mặt phẳng loại này.
Câu 321: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $(d_1): \begin{cases} & x = 1 + t\\ & y = 2 - t\\ & z = 3 \end{cases}$ và $(d_2): \begin{cases} & x = -1\\ & y = 5\\ & z = 5 + t \end{cases}$. Khẳng định nào sau đây đúng? A. $d_1$ // $d_2$ B. $d_1$ và $d_2$ chéo nhau C. $d_1$ và $d_2$ cắt nhau D. $d_1$ vuông góc $d_2$ Spoiler: Xem đáp án Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0}\\ { - t = 2}\\ {1 = t'} \end{array}} \right.\) vô nghiệm nên $d_1$ và $d_2$ song song hoặc chéo nhau. Vtcp của là: \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = (1; - 1;0)\); vtcp của d2 là \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = (0;0;1)\) Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = ( - 1; - 1;0) \ne \overrightarrow 0 \Rightarrow d_1\) và \(d_2\) không song song Vậy hai đường thẳng chéo nhau.
