Câu 322: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho I(0; 2; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy. A. \({x^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^3} = 3\) B. \({x^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^3} = 4\) C. \({x^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^3} = 9\) D. \({x^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^3} = 2\) Spoiler: Xem đáp án Hình chiếu của điểm I lên trục Oy là H(0;2;0). Suy ra: R=IH=3. Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là \({x^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^3} = 9\)
Câu 323: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Tìm hình chiếu của d lên mặt phẳng là (Oxy). A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {y = - 1 - t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\) B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + 2t}\\ {y = - 1 + t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\) C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1 + 2t}\\ {y = 1 + t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\) D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 - 2t}\\ {y = - 1 + t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z=0. Do đó \(d \cap (Oxy) = A( - 3; - 3;0)\) (Cho z=0 thay vào đường thẳng d) Do d đi qua điểm M(1;-1;2). Hình chiếu của M lên (Oxy) là M’(1;-1;0) (Cho z=0) \(\Rightarrow \overrightarrow {AM'} = (4;2;0)\) Ta có đường thẳng AM’ chính là hính chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng AM’ đi qua M’(1;-1;0) và nhận \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM'} = (2;1;0)\) làm VTCP. Phương trình đường thẳng AM’ là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + 2t}\\ {y = - 1 + t}\\ {z = 0} \end{array}} \right.\).
Câu 324: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;-5) Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (MNP). A. \(x + \frac{y}{2} - \frac{z}{5} = 1\) B. \(x + 2y - 5z + 1 = 0\) C. \(x + 2y - 5z = 1\) D. \(x + \frac{y}{2} - \frac{z}{5} + 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(M(1;0;0),N(0,2,0),P(0,0, - 5)\) lần lượt là hình chiếu của A lên các trục tọa độ. Khi đó: Phương trình mặt phẳng (MNP) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 5}} = 1.\)
Câu 325: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;6;-3) và các mặt phẳng \((\alpha ):x - 2 = 0,(\beta ):y - 6 = 0,(\gamma ):z - 6 = 0.\) Khẳng định nào sau đây là sai? A. \((\gamma )\) // Oz B. \((\beta )\) // (xOz) C. \((\alpha )\) qua I D. \((\alpha ) \bot \left( \beta \right)\) Spoiler: Xem đáp án Các VTPT của các mặt phẳng \((\alpha ),(\beta ),(\gamma )\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (0;0;1),\overrightarrow {{n_2}} = (0;1;0),\overrightarrow {{n_3}} = (1;0;0)\) VTCP của Oz là \(\overrightarrow {{u_1}} = (0;0;1)\). Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \overrightarrow {{u_1}}\) suy ra \(\left( \gamma \right) \bot Oz.\) Vậy A sai.
Câu 326: Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = y + 1 = z - 3\) và mặt phẳng \((P):x + 2y - z + 5 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất. A. \(x - z + 3 = 0\) B. \(x + y - z + 2 = 0\) C. \(x - y - z + 3 = 0\) D. \(y - z + 4 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó góc giữa (P) và (Q) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\Delta \perp d.\) Đường thẳng d qua M(-1;-1;3) và có \(\overrightarrow {{u_d}} (2;1;1)\) Khi đó VTCP của là: Suy ra \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = 9(0;1; - 1) \Rightarrow (Q):y - z + 4 = 0.\)
Câu 327: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(-2;3;1), N(5;6;-2). Đường thẳng qua MN cắt mặt phẳng (xOz) tại A. Biết \(\overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {AN} .\) Tìm k. A. \(k = \frac{1}{4}\) B. k=2 C. \(k = -\frac{1}{4}\) D. \(k = \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {MN} \,(7;3; - 3)\). Đường thẳng MN qua M(-2;3;1) và nhận \(\overrightarrow{MN}\)làm vtcp. Phương trình đường thẳng MN là: \(\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\) Phương trình \((xOz):y = 0 \Rightarrow A( - 9;0;4)\) Khi đó \(\overrightarrow {AM} = (7;3; - 3);\overrightarrow {AN} = (14;6; - 6) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} .\)
Câu 328: Trong không gian Oxyz, cho $$. Tìm tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A. \(K(2;1;3)\) B. \(K(5;7;5)\) C. \(K\left( {\frac{{80}}{{49}};\frac{{13}}{{49}};\frac{{135}}{{49}}} \right)\) D. \(K\left( { - 1; - 5;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z = 12.\) Giả sử K(x,y,z), do K là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC nên: \(\left\{ \begin{array}{l} K \in \left( {ABC} \right)\\ KA = KB\\ KA = KC \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} K \in \left( {ABC} \right)\\ K{A^2} = K{B^2}\\ K{A^2} = K{C^2} \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 6y + 2z = 12\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 6y + 2z = 12\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 6y + 2z = 12\\ 2x - y = 3\\ 2x - 3z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{80}}{{49}}\\ y = \frac{{13}}{{49}}\\ z = \frac{{135}}{{49}} \end{array} \right.\)
Câu 329: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;1). Mặt phẳng (P) thay đổi di qua M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất V của thể tích khối tứ diện OABC. A. V=54 B. V=6 C. V=9 D. V=18 Spoiler: Xem đáp án Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right),\) khi đó phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) Mà \(M\left( {1;2;1} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\). Theo bất đẳng thức Cosi, ta có \(1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}} \Leftrightarrow abc \ge 54\) Thể tích của khối tứ diện O.ABC bằng \({V_{O.ABC}} = \frac{{abc}}{6} \ge 9.\) Vậy giá trị nhỏ nhất của khối tứ diện O.ABC là 9.
Câu 330: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{2x - 2}}{{3n}} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{3z + 6}}{{2m}}\,\,\,\left( {m,\,\,n \ne 0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 4y - 2z + 5 = 0\). Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì m+n bằng bao nhiêu? A. \(m+1=0\) B. \(m+1=-1\) C. \(m+1=3\) D. \(m+1=-5\) Spoiler: Xem đáp án VTPT của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = (3;4; - 2).\) VTCP của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( {\frac{{3n}}{2};4;\frac{{2m}}{3}} \right).\) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi: \(\overrightarrow u //\overrightarrow n \Leftrightarrow \frac{n}{2} = \frac{4}{4} = - \frac{m}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = - 3\\ n = 2 \end{array} \right. \Rightarrow m + n = - 1.\)
Câu 331: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD trong đó \(A(2;3;1),{\rm{ }}B(4;1; - 2),{\rm{ }}C(6;3;7),{\rm{ }}D( - 5; - 4;8).\) Tính độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện. A. \(\sqrt {\frac{{86}}{{19}}}\) B. \(\sqrt {\frac{{19}}{{86}}}\) C. \(\frac{\sqrt{19}}{2}\) D. \(11\) Spoiler: Xem đáp án \(h_D = d(D;(ABC)) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\) \(\overrightarrow {AB} = (2; - 2 - 3);\overrightarrow {AC} = (4;0;6);\overrightarrow {AD} = ( - 7; - 7;7)\) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 12; - 24;8);\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 308\) Suy ra: \({h_D} = \frac{{308}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{24}^2} + {8^2}} }} = 11.\)
