Câu 332: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ tâm J của đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S): (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 64$ với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 2y + z + 10 = 0\). A. \(J\left( { - \frac{7}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right).\) B. \(J(-2;-2;-2)\) C. \(J\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{7}{3}} \right).\) D. \(J\left( { - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{7}{3}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1), bán kính R=8. Phương trình đường thẳng d đi qua I(1;1;1) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 2y + z + 10 = 0\). Phương trình tham số của \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 1 + 2t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\). Gọi J là tâm của mặt cầu (S). Suy ra: \(J = d \cap \left( \alpha \right)\). Vậy \(J\left( {1 + 2t;1 + 2t;1 + t} \right)\). Mà \(J \in \left( \alpha \right):2\left( {1 + 2t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) + 1 + t + 10 = 0\). \(\Leftrightarrow t=-\frac{5}{3}\) Suy ra \(J\left( { - \frac{7}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right).\)
Câu 333: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}.\) Viết phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d. A. \(x - y + z - 1 = 0\) B. \(x - y + z + 1 = 0\) C. \(x - y + z = 0\) D. \(x - y + z - 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và có \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\) là \(x - y + z = 0\)
Câu 334: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua \(A\left( {3;5;7} \right)\) và song song với \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\). A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = 5 + 3t\\ z = 7 + 4t \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = 3 + 5t\\ z = 4 + 7t \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t\\ y = 2 + 5t\\ z = 3 + 7t \end{array} \right.\) D. Không tồn tại. Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\Delta\) là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán. Ta có: \(\Delta\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;3;4} \right)\) và qua \(A\left( {3;5;7} \right) \Rightarrow \left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = 5 + 3t\\ z = 7 + 4t \end{array} \right.\) .
Câu 335: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi \(\Delta\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(x - y + 3z - 1 = 0\) và \(3x - 7z + 2 = 0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của \(\Delta\). A. \(\overrightarrow u = \left( {7;\,\,16;\,\,3} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( {7;\,\,0;\, - 3} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( { - 4;\,\,1;\, - 3} \right).\) D. \(\overrightarrow u = \left( {0;\, - 16;\,\,3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án VTPT của hai mặt phẳng lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;3} \right);\overrightarrow {{n_2}} = (3;0; - 7).\) Do \(\Delta\) là giao tuyến của hai mặt phẳng nên \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {7;16;3} \right)\) là một VTCP của \(\Delta\).
Câu 336: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - z - 1 = 0.\) Véctơ nào sau đây không là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? A. \(\overrightarrow n = \left( { - 1;0;1} \right)\) B. \(\overrightarrow n = \left( {1;0; - 1} \right)\) C. \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) D. \(\overrightarrow n = \left( {2;0; - 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow n = \left( {1;0; - 1} \right)\) không là VTPT của (P).
Câu 337: Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( { - 2;0;3} \right),M\left( {0;0;1} \right)\)và \(N\left( {0;3;1} \right).\) Mặt phẳng (P) đi qua các điểm M, N sao cho khoảng cách từ điểm B đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến (P). Có bao nhiêu mặt phẳng (P) thỏa mãn đề bài? A. Có hai mặt phẳng (P). B. Không có mặt phẳng (P) nào. C. Có vô số mặt phẳng (P). D. Chỉ có một mặt phẳng (P). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 3;0;3);\overrightarrow {AM} = \left( { - 1;0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AM}\) nên \(M \in AB\) và \(AB = 3AM \Rightarrow BM = 2AM\) Ta thấy \(N \in AB\) nên mọi mặt phẳng qua MN và không chứa A, B đều thỏa mãn đề bài. Vậy có vô số mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 338: Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( { - 1;2; - 3} \right),B\left( {2; - 1;0} \right).\) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow{AB}\) A. \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\) B. \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 3; - 3} \right)\) C. \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1; - 3} \right)\) D. \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 3;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 + 1; - 1 - 2;0 + 3} \right) = \left( {3; - 3;3} \right)\)
Câu 339: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0.\) Tính bán kính R của mặt cầu (S). A. \(R=3\) B. \(R=3\sqrt{3}\) C. \(R=9\) D. \(R=\sqrt{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9 \end{array}\) Vậy mặt cầu có bán kính R=3.
Câu 340: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;1;1); B(2;5;-1). Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và song song với trục hoành. A. \(\left( P \right):y + z - 2 = 0\) B. \(\left( P \right):y + 2z - 3 = 0\) C. \(\left( P \right):y + 3z + 2 = 0\) D. \(\left( P \right):x + y - z - 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;4; - 2} \right)\) và \({\overrightarrow u _{\left( {Ox} \right)}} = \left( {1;0;0} \right)\) Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_{Ox}}} } \right] = \left( {0; - 2; - 4} \right)\) Suy ra mặt phẳng (P) có một VTPT là: \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_{Ox}}} } \right] = \left( {0;1;2} \right).\) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và có \(\overline {{n_{\left( P \right)}}}\) là \(y - 1 + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2z - 3 = 0\)
Câu 341: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 3;5;1} \right)\). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. \(D\left( { - 4;8; - 3} \right)\) B. \(D\left( { - 2;2;5} \right)\) C. \(D\left( { - 2;8; - 3} \right)\) D. \(D\left( { - 4;8; - 5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\) mà \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right) \Rightarrow D\left( { - 4;8; - 3} \right)\)
