Câu 342: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 4 = 0\) theo giao tuyến đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C). A. \(S=6\pi\) B. \(S = \frac{{2\pi \sqrt {78} }}{3}\) C. \(S = \frac{{26\pi }}{3}\) D. \(S = 2\pi \sqrt 6\) Spoiler: Xem đáp án Ta có (S) có tâm I(1;-2;0) và R=3. Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. Khi đó \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 4} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt 6 \Rightarrow S = \pi {r^2} = 6\pi\)
Câu 343: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):6x - 3y + 2z - 6 = 0\) . Tính khoảng cách d từ điểm M(-1;2;3) đến mặt phẳng (P). A. \(d = \frac{{12\sqrt {85} }}{{85}}\) B. \(d = \frac{{\sqrt {31} }}{7}\) C. \(d = \frac{{18}}{7}\) D. \(d = \frac{{12}}{7}\) Spoiler: Xem đáp án Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là \(d = \frac{{\left| {6.1 + 3.2 + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + 9 + 4} }} = \frac{{12}}{7}.\)
Câu 344: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\). Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB. A. \(S = 2\sqrt 2\) B. \(S = 2\sqrt 7\) C. \(S = 4\) D. \(S = \sqrt{7}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu đã cho có tâm O(0;0;0) bán kính \(R = 2\sqrt 2 .\) Ta có: \(OM = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = 1\) nên M nằm trong mặt cầu. Khi đó diện tích AOB lớn nhất khi \(OM \bot AB\) Khi đó: \(AB = 2\sqrt {{R^2} - O{M^2}} = 2\sqrt 7\) và \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}OM.AB = \sqrt 7\)
Câu 345: Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;3;4} \right)\) và \(C\left( {3;5; - 2} \right).\) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A. \(I\left( {\frac{5}{2};4;1} \right)\) B. \(I\left( {\frac{{37}}{2}; - 7;0} \right)\) C. \(I\left( { - \frac{{27}}{2};15;2} \right)\) D. \(I\left( {2;\frac{7}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Trong không gian, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng cho trước là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Phương trình mặt phẳng trung trực (mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đã cho) của AB; BC lần lượt là: \(x + y + 5z - \frac{{23}}{2} = 0;x + 2y - 6z - \frac{9}{2} = 0.\) Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(16x - 11y - z + 5 = 0.\) Tập hợp các điểm cách đều A, B, C chính là giao tuyến của mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB và BC. Mặt khác\(I \in \left( {ABC} \right).\) Nên I là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 5z - \frac{{23}}{2} = 0\\ x + 2y - 6z - \frac{9}{2} = 0\\ 16x - 11y - z + 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2}\\ y = 4\\ z = 1 \end{array} \right.\) Vậy: \(I\left( {\frac{5}{2};4;1} \right)\)
Câu 346: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua điểm \(A\left( {2; - 2;5} \right)\) và tiếp xúc với các mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x = 1,\left( \beta \right):y = - 1,\left( \gamma \right):z = 1\). Tim bán kính R của mặt cầu (S). A. \(R=\sqrt{33}\) B. R=1 C. \(R=3\sqrt{2}\) D. R=3 Spoiler: Xem đáp án Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) ta có \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {I;\left( \beta \right)} \right) = d\left( {I;\left( \gamma \right)} \right)\) suy ra \(R = \left| {a - 1} \right| = \left| {b + 1} \right| = \left| {c - 1} \right|\) Do điểm A(2;-2;5) thuộc miền \(x > 1;y < - 1;z > 1\) nên I(a;b;c) cũng thuộc miền \(a > 1;y < - 1;z > 1\) Do \(\left( \alpha \right):x = 1,\left( \beta \right):y = - 1,\left( \gamma \right):z = 1\) là các mặt phẳng song song lần lượt với các mặt phẳng (Oyz), (Oxz), (Oxy). Suy ra: \(I\left( {R + 1; - 1 - R;R + 1} \right)\). Mặt khác\(IA = R \Rightarrow {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 1} \right)^2} + {\left( {R - 4} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow R = 3\)
Câu 347: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{x + 3}}{1} = \frac{z}{2}\) . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng \(2\sqrt{2}\) và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ tâm I. A. \(I\left( {1; - 2;2} \right),I\left( {5;2;10} \right)\) B. \(I\left( {1; - 2;2} \right),I\left( {0; - 3;0} \right)\) C. \(I\left( {5;2;10} \right),I\left( {0; - 3;0} \right)\) D. \(I\left( {1; - 2;2} \right),I\left( { - 1;2; - 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng là (Oxz) là \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {2^2}} = 2\) Phương trình mặt phẳng (Oxz) là y=0. Điểm \(I \in \left( d \right)\) suy ra \(I\left( {t;t - 3;2t} \right) \Rightarrow d\left( {I;{\rm{Ox}}z} \right) = \left| {t - 3} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 5}\\ {t = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {I\left( {1; - 2;2} \right)}\\ {I\left( {5;2;10} \right)} \end{array}} \right.\)
Câu 348: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{2}\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + y - 2z - 1 = 0\). Giao tuyến của \((\alpha )\) và \(\left( \beta \right)\) đi qua điểm nào trong các điểm sau? A. \((2;1;1)\) B. \((1;2;1)\) C. \((2;1;0)\) D. \((0;1;1)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;1;2} \right);\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;1; - 2} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = - 4\left( {1; - 1;0} \right).\) Do \((\alpha )\) chứa \(\Delta\) nên \((\alpha )\) đi qua M(2;1;0). Do \((\alpha )\) chứa \(\Delta\) và vuông góc với \(\left( \beta \right)\) có VTPT là: \(\overrightarrow n = - \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {1; - 1;0} \right).\) Suy ra phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - y - 1 = 0\) Đường thẳng giao tuyến của \((\alpha )\) và \(\left( \beta \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y - 1 = 0}\\ {x + y - 2z - 1 = 0} \end{array} \Rightarrow A\left( {2;1;1} \right)} \right.\) thuộc giao tuyến.
Câu 349: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + z - 3 = 0\) đồng thời đi qua điểm M(1;2;0) và cắt đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}.\). Vectơ nào sau đây là một vecto chỉ phương của \(\Delta\). A. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1; - 2} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Do \(\Delta\) nằm trên mặt phẳng \((\alpha )\) và cắt d nên giao điểm của \(\Delta\) với d sẽ thuộc Giả sử N là giao điểm của \(\Delta\) và d \(\Rightarrow N\left( {2 + 2t;2 + t;3 + t} \right)\) Mà \(N \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \left( {2 + 2t} \right) + \left( {2 + t} \right) + \left( {3 + t} \right) - 3 = 0\) \(\Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow N\left( {0;1;2} \right)\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {NM} = \left( {1;1; - 2} \right).\)
Câu 350: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x - y + 2z + 3 = 0$ và đường thẳng $(\Delta): \begin{cases} & x= 3 + t\\ & y= 2t\\ & z= 3 - t\end{cases}$. Tìm \(\varphi\) là số đo góc giữa đường thẳng $(\Delta)$ và mặt phẳng $(P)$. A. \(\varphi = {150^0}\) B. \(\varphi = {60^0}\) C. \(\varphi = {30^0}\) D. \(\varphi = {120^0}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\overrightarrow n _\alpha } = \left( {1; - 1;2} \right);\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;2; - 1} \right) \Rightarrow \sin \left( {\widehat {\left( \alpha \right);\Delta }} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow \varphi = \widehat {\left( {\left( \alpha \right);\Delta } \right)} = {30^0}.\)
Câu 351: Trong khong gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0); B(3;0;0); D(0;3;0); D’(0;3;-3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác A’B’C. A. \(G\left( {1;1; - 2} \right)\) B. \(G\left( {2;1; - 1} \right)\) C. \(G\left( {1;2; - 1} \right)\) D. \(G\left( {2;1; - 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Từ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {DD'} = \left( {0;0; - 3} \right) \Rightarrow A'\left( {0;0; - 3} \right)\\ \overrightarrow {AB} = \left( {3;0;0} \right) = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow B'\left( {3;0; - 3} \right)\\ \overrightarrow {AB} = \left( {3;0;0} \right) = \overrightarrow {DC} \Rightarrow C\left( {3;3;0} \right) \end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;1; - 2} \right).\)
