Câu 352: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(a;b;c). Khẳng định nào sau đây là sai? A. Điểm M thuộc Oz khi và chỉ khi a=b=0. B. Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng c. C. Tọa độ hình chiếu M lên Ox là (a;0;0). D. Tọa độ của \(\overrightarrow{OM}\) là (a;b;c). Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy A, C, D đều là những khẳng định đúng. Xét phương án B, hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy) là M’(a,b,0). \(MM' = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\)nên B sai.
Câu 353: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau? A. \(\left( P \right):x + y + z = 0\) B. \(\left( Q \right):x + y - 2z = 0\) C. \(\left( \alpha \right):x + y + 2z = 0\) D. \(\left( \beta \right):x + y - z = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({\overrightarrow u _\Delta } = {\overrightarrow n _\alpha } = \left( {1;1;2} \right) \Rightarrow \Delta \bot \left( \alpha \right).\)
Câu 354: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;-4) và mặt phẳng (P): x+y-2z+1=0. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S). A. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 25\) B. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 13\) C. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 25\) D. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 13\) Spoiler: Xem đáp án Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là: \(h = d\left( {I,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 1 - 2.\left( { - 4} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2\sqrt 6 .\) Vậy bán kính mặt cầu \(R = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = 5.\)
Câu 355: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 1 = 0\) và điểm M(1;-2;2). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). A. \(d\left( {M,\;\left( P \right)} \right) = 2\) B. \(d\left( {M,\;\left( P \right)} \right) = \frac{2}{3}\) C. \(d\left( {M,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{10}}{3}\) D. \(d\left( {M,\;\left( P \right)} \right) = 3\) Spoiler: Xem đáp án \(d\left( {M,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.\left( { - 2} \right) - 2.2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 2.\)
Câu 356: Tìm độ dài đường kính của mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z + 2 = 0\). A. \(2\sqrt{3}\) B. 2. C. 1. D. \(\sqrt{3}\) Spoiler: Xem đáp án Có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z + 2 = 0\) Ta có a=1, b=0, c=-2, d=2. \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 3 > 0\) Bán kính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt 3\) Vậy đường kính là \(2\sqrt{3}\)
Câu 357: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;-2;-1) và B(1;-1;2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA=2MB. A. \(M\left( {\frac{2}{3}; - \frac{4}{3};{\rm{ }}1} \right).\) B. \(M\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2};{\rm{ }}\frac{1}{2}} \right).\) C. \(M\left( {2;{\rm{ }}0;{\rm{ }}5} \right).\) D. \(M\left( { - 1; - 3; - 4} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} - {x_A} = 2({x_B} - {x_M})\\ {y_M} - {y_A} = 2({y_B} - {y_M})\\ {z_M} - {z_A} = 2({z_B} - {z_M}) \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3{x_M} = 2{x_B} + {x_A}\\ 3{y_M} = 2{y_B} + {y_A}\\ 3{z_M} = 2{z_B} + {z_A} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \frac{2}{3}\\ {y_M} = - \frac{4}{3}\\ {z_M} = 1 \end{array} \right.\)
Câu 358: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc tơ \(\overrightarrow {n\,} = \left( {2; - 4;6} \right)\). Trong các mặt phẳng có phương trình sau đây, mặt phẳng nào nhận véctơ \(\overrightarrow {n}\) làm véc tơ pháp tuyến? A. \(2x + 6y - 4z + 1 = 0.\) B. \(x - 2y + 3 = 0.\) C. \(3x - 6y + 9z - 1 = 0.\) D. \(2x - 4y + 6z + 5 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(2x - 4y + 6z + 5 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {n\,} = \left( {2; - 4;6} \right).\)
Câu 359: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x + y - z + 5 = 0\) và hai điểm A(1;0;2), B(2;-1;4). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. A. \(\left\{ \begin{array}{l} x - 7y - 4z + 7 = 0\\ 3x - y + z - 5 = 0 \end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x - 7y - 4z + 14 = 0\\ 3x + y - z + 5 = 0 \end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x - 7y - 4z + 7 = 0\\ 3x + y - z + 5 = 0 \end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} 3x - 7y - 4z + 5 = 0\\ 3x + y - z + 5 = 0 \end{array} \right..\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)\), vtpt của (P) \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {3;1; - 1} \right)\) Dễ thấy: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{(P)}}} = 0\) Suy ra AB song song với (P) và hai điểm A, B nằm cùng 1 phía với mặt phẳng (P). Điểm \(M\in (P)\) sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất: Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB.d(M;AB)}}{2}\) nhỏ nhất hay d(M,AB) nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi: \(M \in \Delta = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) với (Q) là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với (P). Suy ra vtpt của Q: \($\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( { - 1;7;4} \right)\) PTTQ \(\left( Q \right): - 1\left( {x - 1} \right) + 7y + 4\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 7y - 4z + 7 = 0\) Vậy quỹ tích M là \(\left\{ \begin{array}{l} x - 7y - 4z + 7 = 0\\ 3x + y - z + 5 = 0 \end{array} \right..\)
Câu 360: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2z - 4 = 0,\left( Q \right):x + y - z - 3 = 0,\left( R \right):x + y + z - 2 = 0.\) .Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R). A. \(\left( \alpha \right):x + 2y - 3z + 4 = 0.\) B. \(\left( \alpha \right):2x - 3y - z - 4 = 0.\) C. \(\left( \alpha \right):2x + 3y - 5z - 5 = 0.\) D. \(\left( \alpha \right):3x - 2y - 5z - 5 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 1} \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 2;3;1} \right)\) là VTCP của giao tuyến. Cặp véctơ chỉ phương của \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;1} \right),\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1;1} \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( {2;3; - 5} \right)\) là véctơ pháp tuyến của \((\alpha )\), Điểm \(A\left( {0;\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) thuộc giao tuyến của (P) và (Q) (tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình tương giao giữa 2 mặt phẳng (P) và(Q)). Vậy PTTQ \((\alpha )\) là: \(2x + 3\left( {y - \frac{5}{2}} \right) - 5\left( {z + \frac{1}{2}} \right) = 0\) hay \(2x + 3y - 5z - 50 = 0.\)
Câu 361: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;5). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). A. \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 3}} + \frac{z}{5} = 0.\) B. \(\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1.\) C. \(2x - 3y + 5z = 1.\) D. \(2x - 3y + 5z = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mp (ABC) là: \(\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1.\)
