Câu 362: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu (S) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\). Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M và N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. \(MN = 2\sqrt 2 .\) B. \(MN = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\) C. \(MN = \sqrt 6 .\) D. \(MN =4.\) Spoiler: Xem đáp án Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I, điểm M, N và cắt d tại H. Khi đó IH chính bằng khoảng cách từ điểm I(1;2;1) đến đường thẳng d. Điểm \(K\left( {2;0;0} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \left( {2; - 1;4} \right)\) Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {IK} ;\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&{ - 1}\\ { - 1}&4 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 4&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 9; - 6;3} \right)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IK} ;\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right|}} = \frac{{\sqrt {126} }}{{\sqrt {21} }} = \sqrt 6 \\ \Rightarrow IH = \sqrt 6 ,IM = IN = R = \sqrt 2 \end{array}\) Gọi O là trung điểm của \(MN \Rightarrow MO = \frac{{MH.MI}}{{IH}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow MN = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)
Câu 363: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3;1;1} \right),B\left( {0;1;4} \right),C\left( { - 1; - 3;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 4 = 0.\) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3.\) B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9.\) C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9.\) D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu. Ta có: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} IA = IB\\ IA = IC\\ I \in \left( P \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\ {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\ a + b - 2c + 4 = 0 \end{array} \right. \end{array}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a - 6c = - 6\\ 8a + 8b = 0\\ a + b - 2c + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 1\\ c = 2 \end{array} \right.\) Vậy I(1;-1;2) và bán kính R=IA=3. Vậy phương trình của mặt cầu là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9.\)
Câu 364: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\) và điểm I(7;4;6). Gọi (S) là mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ tiếp điểm H của (P) và (S). A. \(H\left( {\frac{8}{3};\frac{{22}}{3};\frac{{19}}{3}} \right).\) B. \(H\left( {\frac{8}{3};\frac{{19}}{3};\frac{{22}}{3}} \right).\) C. \(H\left( {\frac{{22}}{3};\frac{{19}}{3};\frac{8}{3}} \right).\) D. \(H\left( {\frac{{19}}{3};\frac{8}{3};\frac{{22}}{3}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 7 + t\\ y = 4 + 2t\\ z = 6 - 2t \end{array} \right.\) Tọa độ tiếp điểm của (P) và(S) là giao điểm của d và (P) và là nghiệm hệ: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - 2z + 3 = 0\\ x = 7 + t\\ y = 4 + 2t\\ z = 6 - 2t \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7 + t + 8 + 4t - 12 + 4t + 3 = 0\\ x = 7 + t\\ y = 4 + 2t\\ z = 6 - 2t \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - \frac{2}{3}\\ x = \frac{{19}}{3}\\ y = \frac{8}{3}\\ z = \frac{{22}}{3} \end{array} \right.\\ \end{array}\) Vậy tọa độ tiếp điểm là \(H\left( {\frac{{19}}{3};\frac{8}{3};\frac{{22}}{3}} \right).\)
Câu 365: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;3) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Mặt phẳng (P) chứa A và d. Viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (P). A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{12}}{5}.\) B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3.\) C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 6.\) D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{24}}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án Điểm \(M\left( {1;2;0} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( { - 1;1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \left( {2; - 2;1} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {2;5;1} \right).\) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}\) làm vectơ pháp tuyến là: \(2x + 5y + z - 12 = 0.\) Khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P) là \(d = \frac{{\left| {2.0 + 5.0 + 0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {1^2}} }} = \frac{{12}}{{5\sqrt 6 }}\) Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{24}}{5}.\)
Câu 366: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;1) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 1 = 0\). Gọi B là điểm đối xứng với A qua (P). Tính độ dài đoạn thẳng AB. A. \(AB=2.\) B. \(AB=\frac{4}{3}.\) C. \(AB=\frac{2}{3}.\) D. \(AB=4.\) Spoiler: Xem đáp án Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{2}{3}.\) Vậy độ dài đoạn thẳng AB là \(AB = 2.d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{4}{3}.\)
Câu 367: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{3}\) và điểm A(-4;1;3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. A. \(2x - y - 3z + 18 = 0.\) B. \(2x - y + 3z = 0.\) C. \(2x - y - 3z - 18 = 0.\) D. \(2x - y - 3z + 36 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Do mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {\rm{n}} {\rm{ = }}\left( { - 2;1;3} \right)\). Vậy phương trình mặt phẳng là \(- 2\left( {{\rm{x}} + 4} \right) + 1\left( {{\rm{y}} - 1} \right) + 3\left( {{\rm{z}} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x - y - z}} + 18 = 0.\)
Câu 368: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {1;2;1} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2;3;4} \right),\overrightarrow c = \left( {0;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow d = \left( {4;2;0} \right).\) Biết \(\overrightarrow d = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b + z\overrightarrow c\). Tính tổng \(S = x + y + z.\) A. S=2. B. S=3. C. S=5. D. S=4. Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow d = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b + z\overrightarrow c\) suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 = x - 2y}\\ {2 = 2x + 3y + z}\\ {0 = x + 4y + 2z} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {y = - 1}\\ {z = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow x + y + z = 2.\)
Câu 369: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - z - 1 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 2y + z - 5 = 0.\) Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q). A. \(\overrightarrow u = \left( {1;3;5} \right).\) B. \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3; - 5} \right).\) C. \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right).\) D. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Vectơ chỉ phương của giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {1;3;5} \right).\)
Câu 370: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3;1;0} \right),B\left( {0; - 1;0} \right),C\left( {0;0; - 6} \right)\). Giả sử tồn tại các điểm A’, B’, C’ sao cho \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 .\) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác A’B’C’. A. G(1;0;-2) B. G(2;-3;0) C. G(3;-2;0) D. G(3;-2;1) Spoiler: Xem đáp án Gọi G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. Với mọi điểm T trong không gian có: \(\left( 1 \right):\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {TA} - \overrightarrow {TA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {TB} - \overrightarrow {TB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {TC} - \overrightarrow {TC'} } \right) = \overrightarrow 0\) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {TC} = \overrightarrow {TA'} + \overrightarrow {TB'} + \overrightarrow {TC'} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Hệ thức (2) chứng tỏ: Nếu \(T \equiv G\) tức là \(\overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {TC} = \overrightarrow 0\) thì ta cũng có \(\overrightarrow {TA'} + \overrightarrow {TB'} + \overrightarrow {TC'} = \overrightarrow 0\) hay \(T \equiv G'\) hay (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm. Ta có tọa độ của G là: \(G = \left( {\frac{{3 + 0 + 0}}{3};\frac{{1 - 1 + 0}}{3};\frac{{0 + 0 - 6}}{3}} \right) = \left( {1;0; - 2} \right).\) Đó cũng là tọa độ trọng tâm G’ của \(\Delta A'B'C'.\)
Câu 371: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + 2y - z - 4 = 0\). Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mp (Q) với ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường cao MH trong tam giác MNP. A. \(\overrightarrow u = \left( {5; - 4;2} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( {2; - 4;2} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( { - 3;4; - 2} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( { - 5; - 4;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi tọa độ 3 điểm M, N, P lần lượt là \(M\left( {a,0,0} \right);N\left( {0,b,0} \right);P\left( {0,0,c} \right)\) Thay vào phương trình mặt phẳng (Q) ta có \(M\left( {2,0,0} \right);N\left( {0,2,0} \right);P\left( {0,0, - 4} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {NP} = \left( {0, - 2, - 4} \right) \Rightarrow \left( {NP} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {y = 2 - 2t} \end{array}}\\ {z = - 4t} \end{array}} \right.\) Vì \(H \in NP \Rightarrow H\left( {0,2 - 2t, - 4t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( { - 2,2 - 2t, - 4t} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {NP} .\overrightarrow {MH} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{5} \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( { - 2;\frac{8}{5}; - \frac{4}{5}} \right) = - \frac{2}{5}\left( {5; - 4;2} \right).\)
