Câu 372: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y + z - 11 = 0\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 8 = 0.\) Tìm tọa độ tiếp điểm M. A. \(M\left( {3;1;2} \right)\) B. \(M\left( {1; - 2;1} \right)\) C. \(M\left( { - 1; - 5;0} \right)\) D. \(M\left( { - 3; - 8; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}} = \left( {2;3;1} \right).\) Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;1) Đường thẳng d đi qua điểm I(1;-2;1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_p}} = \left( {2;3;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) M là giao điểm của d và (P) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 + t\\ 2{\rm{x}} + 3y + z - 11 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 + t\\ 2\left( {1 + 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) + \left( {1 + t} \right) - 11 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 1\\ z = 2\\ t = 1 \end{array} \right.\) Vậy \(M\left( {3;1;2} \right).\)
Câu 373: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 3}}{3}\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2t}\\ {y = 1 + 4t} \end{array}}\\ {z = 2 + 6t} \end{array}} \right..\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hai đường thẳng song song. B. Hai đường thẳng trùng nhau. C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Hai đường thẳng chéo nhau. Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(d_1\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;3} \right).\) Đường thẳng \(d_2\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;4;6} \right).\) Ta có: \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \Rightarrow\) \(d_1\)song song hoặc trùng với \(d_2\). Mặc khác: \(M\left( {1;0;3} \right) \in {d_1}\) nhưng không thuộc \(d_2\) Vậy hai đường thẳng song song với nhau.
Câu 374: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm \(\varphi\) là số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y - 2z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):\sqrt 3 x - \sqrt 3 y + 5 = 0.\) A. \(\varphi = \frac{\pi }{4}\) B. \(\varphi = \frac{\pi }{6}\) C. \(\varphi = \frac{\pi }{3}\) D. \(\varphi = \frac{\pi }{2}\) Spoiler: Xem đáp án Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2{\rm{x}} - y - 2{\rm{z}} + 1 = 0\) là: \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 2} \right).\) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \beta \right):\sqrt 3 x - \sqrt 3 y + 5 = 0\) là: \(\overrightarrow {n'} = \left( {\sqrt 3 ; - \sqrt 3 ;0} \right).\) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) và \(\left ( \beta \right )\): Khi đó: \(\cos \varphi = \frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2\sqrt 3 - \left( { - \sqrt 3 } \right) + 0. - 2} \right|}}{{\sqrt {\left( {3 + 3 + 0} \right)\left( {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \right)} }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{3\sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Câu 375: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng \(\left ( \alpha \right ): 4x + 3y - 7z + 1 = 0\) A. \(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z + 3}}{{ - 7}}\) B. \(\frac{{x + 1}}{8} = \frac{{y + 2}}{6} = \frac{{z + 3}}{{ - 14}}\) C. \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\) D. \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) có VTPT: \(\overrightarrow n = \left( {4;3; - 7} \right).\) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) nên nhận \(\overrightarrow u = \overrightarrow n = \left( {4;3; - 7} \right)\) làm VTCP. Mặt khác d đi qua \(A(1;2;3)\), nê phương trình chính tắc của d là: \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}.\)
Câu 376: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định tâm I của mặt cầu có phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 8x - 4y + 12z - 100 = 0.\) A. \(I\left( {4; - 2;6} \right)\) B. \(I\left( { - 4;2; - 6} \right)\) C. \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) D. \(I\left( { - 2;1; - 3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 50 = 0\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {8^2}\) Suy ra tâm của mặt cầu là \(I\left( { - 2;1; - 3} \right).\)
Câu 377: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;0;a} \right),B\left( {b;0;0} \right),C\left( {0;c;0} \right)\) với \(a,b,c \in \mathbb{R}\) và \(a.b.c \ne 0\). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). A. \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) B. \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a} + \frac{z}{c} = 1\) C. \(\frac{x}{b} + \frac{y}{c} + \frac{z}{a} = 1\) D. \(\frac{x}{c} + \frac{y}{b} + \frac{z}{a} = 1\) Spoiler: Xem đáp án Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{b} + \frac{y}{c} + \frac{z}{a} = 1.\)
Câu 378: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a+b+c=2. Biết rằng khi a,b,c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách d từ M(2016;0;0) tới mặt phẳng (P). A. \(d = 2017.\) B. \(d = \frac{{2014}}{{\sqrt 3 }}.\) C. \(d = \frac{{2016}}{{\sqrt 3 }}.\) D. \(d = \frac{{2015}}{{\sqrt 3 }}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi D, K lần lượt là trung điểm của AB, OC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (OAB) Và cắt mặt phẳng trung trực của OC tại \(I({x_1};{y_1};{z_1})\) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC và \({z_1} = \frac{c}{2}\) (do DOKI là hình chữ nhật). Tương tự: \(DF = \frac{a}{2} \Rightarrow {x_1} = \frac{a}{2};{y_1} = \frac{b}{2} \Rightarrow I\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} \right)\) Suy ra: \({x_1} + {y_1} + {z_1} = \frac{{a + b + c}}{2} = 1 \Rightarrow I \in (P):x + y + z - 1 = 0\) Vậy khoảng cách từ điểm M đến (P) bằng \(d = \frac{{2015}}{{\sqrt 3 }}.\)
Câu 379: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):2x + y - 3z + 2 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song và cách (P) một khoảng bằng \(\frac{{11}}{{2\sqrt {14} }}.\) A. \(- 4x - 2y + 6z + 7 = 0;\,4x + 2y - 6z + 15 = 0.\) B. \(- 4x - 2y + 6z - 7 = 0;\,4x + 2y - 6z + 5 = 0.\) C. \(- 4x - 2y + 6z + 5 = 0;\,4x + 2y - 6z - 15 = 0.\) D. \(- 4x - 2y + 6z + 3 = 0;\,4x + 2y - 6z - 15 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên (Q) có dạng \(2x + y - 3z + m = 0\) Điểm \(M( - 1;0;0) \in (P)\) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là: \(d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \frac{{11}}{{2\sqrt {14} }}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\left| { - 2 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{11}}{{2\sqrt {14} }} \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \frac{{11}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{{15}}{2}\\ m = - \frac{7}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow (Q):\left[ \begin{array}{l} - 4x - 2y + 6z + 7 = 0\\ 4x + 2y - 6z + 15 = 0 \end{array} \right.. \end{array}\)
Câu 380: Gọi I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm \(M(1;0;0),\,N(0;1;0),\,P(0;0;1),\,Q(1;1;1).\) Tìm tọa độ I. A. \(I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\) B. \(I\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right).\) C. \(I\left( {\frac{1}{2}; \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\) D. \(I\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy MNPQ là tứ diện đều cạnh \(a=\sqrt 2\) Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là trọng tâm tứ diện. Vậy \(I\left( {\frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P} + {x_Q}}}{4};\frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P} + {y_Q}}}{4};\frac{{{z_M} + {z_N} + {z_P} + {z_Q}}}{4}} \right) = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)
Câu 381: Cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng (P). A. \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0.\) B. \(x + y + z - 6 = 0.\) C. \(3x + 2y + z - 14 = 0.\) D. \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) Nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) mà \(M \in (P) \Rightarrow \frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\,\,(1)\) Ta có \(\overrightarrow {AM} = (3 - a;2;1),\overrightarrow {BM} = (3;2 - b;1)\) và \(\overrightarrow {BC} = (0; - b;c),\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c)\) Mặt khác M là trực tâm \(\Delta ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0\\ \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c - 2b = 0\\ c - 3a = 0 \end{array} \right.(2)\) Từ (1) và (2) suy ra \(a = \frac{{14}}{3};b = 7;c = 14 \Rightarrow (P):3x + 2y + z - 14 = 0.\)
