Câu 382: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 3)^2} = 9.\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy). B. Mặt cầu (S) không tiếp xúc với cả ba mặt (Oxy), (Oxz), (Oyz). C. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz). D. Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxz). Spoiler: Xem đáp án Xét mặt cầu \((S):{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 3)^2} = 9 \Rightarrow\) tâm \(I(2; - 1;3)\) và R = 3. Mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) có phương trình lần lượt là \(z = 0;x = 0;y = 0.\) Ta có \(d(I;(Oxy)) = 3,d(I;(Oyz)) = 2,d(I;(Oxz)) = 1\) nên mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy).
Câu 383: Cho mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 25\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y - 2z + m = 0.\) Tìm tất cả giá trị trị của m để \((\alpha )\) và (S) không có điểm chung. A. \(m\leq -9\) hoặc \(m \geq 21\) B. \(m<-9\) hoặc \(m>21\) C. \(-9\leq m\leq 21\) D. \(-9<m<21\). Spoiler: Xem đáp án Xét \((S):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 25 \Rightarrow I( - 1;2;3)\) và bán kính R=5. (S) và \((\alpha )\) không có điểm chung khi: \(d(I;(P)) > R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1.2 + 2 - 2.3 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} > 5 \Leftrightarrow \left| {m - 6} \right| > 15 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 21\\ m < - 9 \end{array} \right.\)
Câu 384: Cho điểm M(-3;2;4) gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC). A. \(6x - 4y - 3z - 12 = 0.\) B. \(3x - 6y - 4z + 12 = 0.\) C. \(4x - 6y - 3z + 12 = 0.\) D. \(4x - 6y - 3z - 12 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án A, B, C là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz \(\Rightarrow A( - 3;0;0),B(0;2;0),C(0;0;4).\) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn, ta được (ABC): \(\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1\) hay \(4x - 6y - 3z + 12 = 0.\) Vậy mặt phẳng có phương trình \(4x - 6y - 3z - 12 = 0\) song song với mặt phẳng (ABC).
Câu 385: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;0} \right)\) biết \(\overrightarrow a\) cùng chiều với \(\overrightarrow b\) và \(\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = 10\). Chọn phương án đúng. A. \(\overrightarrow b = ( - 6;3;0).\) B. \(\overrightarrow b = \left( { - 4;2;0} \right).\) C. \(\overrightarrow b = (6; - 3;0).\) D. \(\overrightarrow b = \left( {4; - 2;0} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow b= k\overrightarrow a = (2k; - k;0)(k > 0) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = \left| {4k + k} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k = 2\\ k = - 2(L) \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \overrightarrow b = (4; - 2;0).\)
Câu 386: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; - 2;1} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2; - 1} \right),{\rm{ }}C\left( {2; - 3;1} \right).\) Điểm M thỏa mãn \(T = M{A^2} - M{B^2} + M{C^2}\) nhỏ nhất. Tính giá trị của \(P = x_M^2 + 2y_M^2 + 3z_M^2.\) A. P=101. B. P=134. C. P=114. D. P=162. Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y + 2;z - 1} \right)\\ \overrightarrow {BM} = \left( {x;y - 2;z + 1} \right)\\ \overrightarrow {CM} = \left( {x - 2;y + 3;z - 1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\\ B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2}\\ C{M^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow T = \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\) \(= \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {x^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {y + 2} \right)}^2} - {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {z - 1} \right)}^2} - {{\left( {z + 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\)\(= \left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + \left( {{y^2} + 14y + 17} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 1} \right)\) \(= {\left( {x - 3} \right)^2} - 4 + {\left( {y + 7} \right)^2} - 32 + {\left( {z - 3} \right)^2} - 8 \ge - 4 - 32 - 8 = - 44.\) Dấu "=" xảy ra khi \(x = 3,{\rm{ }}y = - 7,{\rm{ }}z = 3.\) Khi đó \(M\left( {3; - 7;3} \right) \Rightarrow P = x_M^2 + 2y_M^2 + 3z_M^2 = 134.\)
Câu 387: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-1;3) và hai đường thẳng: \({d_1}:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}},{\rm{ }}{d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}.\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng \(d_1\) và cắt đường thẳng \(d_2.\) A. \(d:\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}.\) B. \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}.\) C. \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\) D. \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(M = d \cap {d_2},\) ta có \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 1 - t\\ z = 1 + t \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in } \right) \Rightarrow M\left( {t + 2; - t - 1;t + 1} \right).\) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {t + 1; - t;t - 2} \right)\) là một VTCP. Đường thẳng d1 có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {1;4; - 2} \right).\) Ta có \(d \bot {d_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right) - 4t - 2\left( {t - 2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow - 5t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {2; - 1; - 1} \right).\) Đường thẳng d qua A(1;-1;3) và nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) là một VTCP \(\Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)
Câu 388: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{z - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z = 0,{\rm{ }}\left( Q \right):x - 2y + 3z - 5 = 0.\) Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S). A. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{2}{7}.\) B. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{9}{{14}}.\) C. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{7}.\) D. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{9}{{14}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 3 + t\\ z = 2 + t \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in\mathbb{R} } \right) \Rightarrow I\left( {2t;t + 3;t + 2} \right).\) Mà: \(I \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - 2\left( {t + 3} \right) + 2\left( {t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( {2;4;3} \right).\) Gọi R là bán kính của (S) ta có (Q) tiếp xúc với (S). Suy ra: \(d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = R \Leftrightarrow R = \frac{{\left| {2 - 2.4 + 3.3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {14} }}.\) Kết hợp với (S) có tâm I(2;3;4)\(\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{{14}} = \frac{2}{7}.\)
Câu 389: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;1;0) và B(3;1;-2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của cạnh AB và vuông góc với đường thẳng AB. A. \(- x + 2z + 3 = 0.\) B. \(2x - y - 1 = 0.\) C. \(2y - z - 3 = 0.\) D. \(2x - z - 3 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có I là trung điểm của cạnh \(AB \Rightarrow I\left( {\frac{{ - 1 + 3}}{2};\frac{{1 + 1}}{2};\frac{{0 - 2}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( {1;1; - 1} \right).\) Mặt phẳng (P) qua I(1;1;-1) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;0 - 2} \right)\) là một VTPT \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( P \right):4\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0\\ \Rightarrow \left( P \right):4x - 2z - 6 = 0 \Rightarrow \left( P \right):2x - z - 3 = 0. \end{array}\)
Câu 390: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: \(d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}.\) Xét mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + 2mz - 4 = 0,\) với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). A. \(m = \frac{1}{2}.\) B. \(m = \frac{1}{3}.\) C. \(m = 1.\) D. \(m = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d qua A(4;1;2) có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right).\) Mặt phẳng (P) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3;2m} \right).\) YCBT \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \notin \left( P \right)\\ \overrightarrow u .\overrightarrow n = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 - 3.1 + 2m.2 - 4 \ne 0\\ 2 - 3 + 2m = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4m - 3 \ne 0\\ m = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\)
Câu 391: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z - 3 = 0.\)Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S). A. I(2;-1;1) và R=3. B. I(-2;1;-1) và R=3. C. I(2;-1;1) và R=9. D. I(-2;1;-1) và R=9. Spoiler: Xem đáp án Ta viết lại mặt cầu (S) như sau \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9.\) Mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) bán kính R có phương trình: \(\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.\) Dựa vào đó, ta thấy ngay mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) có tâm I(2;-1;1) và bán kính \(R = \sqrt 9 = 3.\)
