Câu 31: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):y - 2x - 3 = 0.\) Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của (P)? A. \(\overrightarrow {{n_3}} = (1; - 2; - 3)\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;0; - 2)\) C. \(\overrightarrow {{n_1}} = (0;1;2)\) D. \(\overrightarrow {{n_4}} = (0; - 1;2)\) Spoiler: Xem đáp án Trong các vecto đã cho, chỉ có vecto \(\overrightarrow {{n_4}} = (0; - 1;2)\) là một vecto pháp tuyến của \((P):y - 2z - 3 = 0.\)
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right)\) và \(A'\left( {0;0;1} \right)\). Xét mặt phẳng (P) chứa CD’, gọi \(\alpha \) là góc giữa (P) và mặt phẳng \(\left( {BB'C'C} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(\alpha \) là: A. \({30^0}\) B. \({45^0}\) C. \({60^0}\) D. \({90^0}\) Spoiler: Xem đáp án Góc \(\alpha \) nhỏ nhất bằng góc giữa CD’ và (BB’C’C) và bằng \(\widehat {D'CC'} = {45^0}.\)
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) với \(A\left( {0; - 3;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( {0;3;0} \right),{B_1}\left( {4;0;4} \right)\). Gọi M là trung điểm của \({A_1}{B_1}\). Mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với \(B{C_1}\) cắt \({A_1}{C_1}\) tại N. Độ dài đoạn thẳng MN là: A. \(\frac{{\sqrt {17} }}{2}\) B. 3 C. 4 D. \(2\sqrt 3 \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \overrightarrow {AB} = \left( {4;3;0} \right) \Leftrightarrow \left( {4 - {x_{{A_1}}};0 - {y_{{A_1}}};4 - {z_{{A_1}}}} \right) = \left( {4;3;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{{A_1}}} = 0}\\{{y_{{A_1}}} = - 3}\\{{z_{{A_1} = 4}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {A_1}\left( {0; - 3;4} \right)\) \( \Rightarrow M\left( {2; - \frac{3}{2};4} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left( {{x_{{C_1}}} - 4;{y_{{C_1}}} - 0;{z_{{C_1}}} - 4} \right) = \left( { - 4;3;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{{C_1}}} = 0}\\{{y_{{C_1}}} = 3}\\{{z_{{C_1}}} = 4}\end{array} \Rightarrow {C_1}\left( {0;3;4} \right)} \right.\) \( \Rightarrow \) VTPT của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;4; - 2} \right)\) Khi đó: \(\left( P \right):1\left( {x - 0} \right) + 4\left( {y + 3} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(\left( P \right):\left( {x + 4y - 2z + 12 = 0} \right)\) Ta có: \(\overrightarrow {{A_1}{C_1}} \left( {0;6;0} \right) = 6\left( {0;1;0} \right) \Rightarrow {A_1}{C_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\) Ta có: \(\left( P \right) \cap \left( {{A_1}{C_1}} \right) = N\left( {0; - 1;4} \right) \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt {17} }}{2}.\)
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}.\) Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và \(d'.\) A. \(x + y - 2z + 1 = 0.\) B. \(x + y - 2z - 1 = 0.\) C. \(2x + y + z - 1 = 0.\) D. \(x - y + 2z - 1 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Các VTCP của d và \(d'\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;0} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;1} \right).\) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và \(d'.\) Khi đó \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) làm cặp VTCP nên VTPT của \(\left( P \right)\) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1; - 1;2} \right).\) Khi đó: \(\left( P \right):x + y - 2z + m = 0.\) Ta có: \(A\left( {0;1;0} \right) \in d,B\left( { - 1;0;1} \right) \in d'{\rm{.}}\) Vì \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng d và \(d'\) nên: \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = d\left( {B,\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \left| {0 + 1 - 2.0 + m} \right| = \left| { - 1 + 0 - 2.1 + m} \right| \Leftrightarrow m = 1\) \( \Rightarrow \left( P \right):x + y - 2z + 1 = 0.\)
Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{3}\) và điểm \(M\left( {3;5;1} \right).\) Tìm tọa độ điểm N là đối xứng của M qua đường thẳng d. A. \(N\left( { - 1;1;5} \right).\) B. \(N\left( { - 9; - 3; - 7} \right).\) C. \(N\left( { - 5; - 1; - 1} \right).\) D. \(N\left( {1;6;2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án VTCP của d là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;3} \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua M và vuông góc với d có phương trình là: \(\left( P \right):2\left( {x - 3} \right) + 1.\left( {y - 5} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\,\)hay \(\,\left( P \right):2x + y + 3z - 14 = 0.\) Gọi \(I = \left( P \right) \cap d.\) Khi đó \(I\left( {1;3;3} \right).\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M} = 2.1 - 3 = - 1\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M} = 2.3 - 5 = 1\\{z_N} = 2{z_I} - {z_M} = 2.3 - 1 = 5\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 1;1;5} \right).\)
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.;\,\,d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1 + t'\\z = 2\end{array} \right..\) A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = 2 + s\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + s\end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1 - s\end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 1 + s\end{array} \right..\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(M\left( {t;1;1} \right) \in {\rm{d}},N \in \left( {1; - 1 + t';2} \right) \in d'.\) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {1 - t; - 2 + t';1} \right).\) Các VTCP của d và \(d'\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;1;0} \right).\) Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {1 - t} \right).1 + \left( { - 2 + t'} \right).0 + 1.0 = 0\\\left( {1 - t} \right).0 + \left( { - 2 + t'} \right).1 + 1.0 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 2\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;0;1} \right),M\left( {1;1;1} \right).\)
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm các số thực m, n sao cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 2 - 2t\end{array} \right.\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right):\left( {m + 4} \right)x - y + \left( {n - 2} \right)z + 5 = 0.\) A. \(m = - 2;n = \frac{9}{2}.\) B. \(m = 6;n = \frac{{15}}{2}.\) C. \(m = \frac{9}{2};n = - 2.\) D. \(m = - 2;n = 5.\) Spoiler: Xem đáp án Do d nằm trong \(\left( P \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 2\left( {m + 4} \right) + 1 - 2\left( {n - 2} \right) = 0.\) Lấy điểm \(M\left( {1;2; - 2} \right) \in d \Rightarrow M \in \left( P \right) \Rightarrow m + 4 - 2 - 2\left( {n - 2} \right) + 5 = 0.\) Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2n = 13\\m - 2n = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\n = \frac{9}{2}\end{array} \right..\)
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1\end{array} \right.\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 3\) tại điểm M. Tìm tọa độ điểm M. A. \(M\left( {0;1; - 1} \right).\) B. \(M\left( {2;1;1} \right).\) C. \(M\left( {2; - 1;1} \right).\) D. \(M\left( {1;2;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án M thuộc d nên tọa độ M có dạng: \(M(1 + t;2 - t;1).\) Thay vào phương trình của (S) ta có: \({(1 + t - 1)^2} + {(2 - t)^2} + {1^2} = 3 \Leftrightarrow 2{t^2} - 4t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1.\) Vậy tọa độ M là: \(M(2;1;1).\)
Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) và song song với mặt phẳng \(3x + 2y + z + 4 = 0.\) A. \(3x + 2y + z + 7 = 0.\) B. \(3x + 2y + z + 4 = 0.\) C. \(3x + 2y + z - 7 = 0.\) D. \(3x + 2y + z + 11 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng cần tìm là \(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 7 = 0.\)
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và \(N\left( {2;1;4} \right).\) A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 4 + t\end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 4 - t\end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 + t\end{array} \right..\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 1;1} \right).\) Suy ra VTPT của đường thẳng MN có dạng: \(\overrightarrow u = k\left( {1; - 1;1} \right),(k \ne 0).\) Vậy B là phương án đúng.
