Câu 392: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2z + 3 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P). A. \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right).\) B. \(\overrightarrow n = \left( {1;0;-2} \right).\) C. \(\overrightarrow n = \left( {1 ;- 2;0} \right).\) D. \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(ax + by + cx + d = 0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right).\) Dựa vào đó, ta thấy ngay \(\left( P \right):x - 2z + 3 = 0\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1;0; - 2} \right).\)
Câu 393: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $A(a;0;0)$, $B(-a;0;0)$, $C(-a;0;b)$ với $a b$, là các số dương thay đổi thỏa mãn $a + b = 4$. Tìm khoảng cách lớn nhất giữa hai đường thẳng BC' và AC'. A. 1 B. 2 C. \(\sqrt{2}\) D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(A(a;0;0),B( - a;0;0),C(0;1;0),B'( - a;0;b)\) Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng nên \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \Rightarrow C'(0;1;b)\) Đường thẳng AC’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - a;1;b)\) và đi qua A Đường thẳng B’C có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = (a;1; - b)\) và đi qua B’ Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&b\\ 1&{ - b} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} b&{ - a}\\ { - b}&a \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - a}&1\\ a&1 \end{array}} \right|} \right) = ( - 2b;0; - 2a)\) Và \(AB' = ( - 2a;0;b) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|} \right| = \left| {( - 2b)( - 2a) - 2ab} \right| = 2|ab|\) Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’, B’C là \(d = \frac{{\left| {\left[ {\overline {{u_1}} ;\overline {{u_2}} } \right].\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|} \right|}}{{\left| {\left[ {\overline {{u_1}} ;\overline {{u_2}} } \right]} \right|}}\) \(d = \frac{{2|ab|}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{b^2}} }} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le \frac{{ab}}{{\sqrt {2ab} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 .2\sqrt {ab} }} \le \frac{{a + b}}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .\) \(\Rightarrow {d_{\max }} = \sqrt 2 .\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a = b = 2\) (Đánh giá trên áp dụng bất đẳng thức Cosi).
Câu 394: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm \(A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + y + z - 2 = 0.\) A. \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1\) B. \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4\) C. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 1\) D. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu (S) suy ra IA=IB=IC và \(I \in (P) \Rightarrow x + y + z - 2 = 0.\) Mặt khác \(\overrightarrow {AI} = (x - 2;y;z - 1),\overrightarrow {BI} = (x - 1;y;z),\overrightarrow {CI} = (x - 1;y - 1;z - 1)\) Nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} I \in (P)\\ IA = IB\\ IA = IC \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z - 2 = 0\\ x + z = 2\\ y + z = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 1\\ y = 0\\ z = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I(1;0;1)\)Và \(R = IA = 1.\) Vậy phương trình mặt cầu (S) là \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1.\)
Câu 395: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ có phương trình lần lượt là $(d_1): \frac{x}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+2}{1}$, $(d_2): \begin{cases} & x=-1 + 2t \\ & y= 1 + t\\ & z= 3\end{cases} (t \in \mathbb{R})$ Viết phương trình đường thẳng vuông góc với $(P): 7x + y - 4z = 0$ và cắt cả hai đường thẳng $d_1, d_2$. A. \(\frac{x}{7} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\) B. \(\frac{{x - 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}\) C. \(\frac{{x + 1}}{7} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\) D. \(\frac{{x + \frac{1}{2}}}{7} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - \frac{1}{2}}}{{ - 4}}\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(d \cap {d_1} = A \Rightarrow A = {d_1}\) nên \(A(2u;1 - u;u - 2)\) \(d \cap {d_2} = B \Rightarrow B = {d_2}\) nên \(B(2t - 1;t + 1;3)\) Vì thế \(\overrightarrow {AB} = (2t - 2u - 1;t + u;5 - u)\) là vectơ chỉ phương của d. Do \(d\perp (P)\) nên \(\overrightarrow {AB} //\overrightarrow n = (7;1; - 4)\) ở đây \(\vec{n}\) là vectơ pháp tuyến của mp(P). Từ đó có hệ phương trình \(\frac{{2t - 2u - 1}}{7} = \frac{{t + u}}{1} = \frac{{5 - u}}{{ - 4}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2t - 2u - 1 = 7t + 7u\\ 4(t + u) = u - 5 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 2\\ u = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( - 7; - 1;4).\) Và đường thằng d đi qua điểm \(A(2;0;-1)\) nên \((d):\frac{{x - 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}.\)
Câu 396: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết $A(5;1;3)$, $B(1;6;2)$, $C(5;0;4)$ . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. A. \(G\left( {\frac{{11}}{3};3;7} \right)\) B. \(G\left( {\frac{{11}}{3}; - \frac{7}{3};3} \right)\) C. \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{7}{3};3} \right)\) D. \(G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{7}{2};3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ là \(G\left( {\frac{{5 + 1 + 5}}{3};\frac{{1 + 6 + 0}}{3};\frac{{3 + 2 + 4}}{3}} \right) = G\left( {\frac{{11}}{3};\frac{7}{3};3} \right).\)
Câu 397: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm I (1; 2;3), bán kính AB với A(4; -3;7) và B(2;1;3). A. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 36\) B. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\) C. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 6\) D. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 36\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} A(4; - 3;7)\\ B(2;1;3) \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ( - 2;4; - 4) \Rightarrow AB = 6 \Rightarrow R = 6\) là bán kính mặt cầu (S). Phương trình mặt cầu tâm I(1;2;3), bán kính R = 6 là \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 36.\)
Câu 398: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A(1; - 1;1),B(0;1;2),C(1;0;1).\) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. \(D(2;2;0)\) B. \(D(2;-2;0)\) C. \(D(-2;-2;0)\) D. \(D(2;0;0)\) Spoiler: Xem đáp án ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}\) mà \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;2;1)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} 1 - x = - 1\\ 0 - y = 2\\ 1 - z = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = - 2\\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow D(2; - 2;0).\)
Câu 399: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):4x - 6y + 8z + 5 = 0.\) Mặt phẳng \((\alpha )\) song song với mặt phẳng (P) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC bằng \(\frac{3}{2}\). Viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\). A. \(2x - 3y + 4z + 6 = 0\) hoặc \(2x - 3y + 4z - 6 = 0.\) B. \(2x - 3y + 4z - 5 = 0\) hoặc \(2x - 3y + 4z + 5 = 0.\) C. \(2x - 3y + 4z - 3 = 0\) hoặc \(2x - 3y + 4z + 3 = 0.\) D. \(4x - 6y + 8z + 3 = 0\) hoặc \(4x - 6y + 8z - 3 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án + \(\left( \alpha \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( \alpha \right):4x - 6y + 8z + m = 0\,(m \ne 5).\) + \((\alpha )\) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên \(A\left( { - \frac{m}{4};0;0} \right);\,B\left( {0;\frac{m}{6};0} \right);\,C\left( {0;0; - \frac{m}{8}} \right).\) \(\begin{array}{l} {V_{O.ABC}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{3}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{6}\left| { - \frac{m}{4}} \right|.\left| {\frac{m}{6}} \right|.\left| { - \frac{m}{8}} \right| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\left| m \right|^3} = 1728\\ \Leftrightarrow \left| m \right| = 12 \Leftrightarrow m \pm 12. \end{array}\) Vậy phương trình của \((\alpha )\) là: \(4x - 6y + 8z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 4z + 6 = 0\) Và: \(4x - 6y + 8z - 12 = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 4z - 6 = 0.\)
Câu 400: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D biết \(A\left( {1;0;1} \right);B\left( {2;1;2} \right);D\left( {1; - 1;1} \right);C'\left( {4;5; - 5} \right).\) Tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp là : A. \(A'\left( {3;5; - 6} \right),\,B'\left( {4;6; - 5} \right),\,C\left( {2;0;2} \right),\,\,D'\left( {3;4; - 6} \right)\) B. \(A'\left( {3; - 5; - 6} \right),\,B'\left( { - 4;6; - 5} \right),\,C\left( {2;0; - 2} \right),\,D'\left( {3;4; - 6} \right)\) C. \(A'\left( {3;5; - 6} \right),\,B'\left( { - 4;6; - 5} \right),\,C\left( {2;0;2} \right),\,D'\left( {3; - 4; - 6} \right)\) D. \(A'\left( {3;5; - 6} \right),\,B'\left( { - 4;6; - 5} \right),\,C\left( {2;0; - 2} \right),\,D'\left( {3;4; - 6} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overline {AB} = \left( {1,1,1} \right)\) \(\overrightarrow {DC} = \left( {{x_c} - 1,{y_c} + 1,{z_c} - 1} \right)\) với \(C\left( {{x_c},{y_c},{c_c}} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_c} - 1 = 1\\ {y_c} + 1 = 1\\ {z_c} - 1 = 1 \end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2,0,2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CC\prime } \left( {2,5, - 7} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {BB\prime } = \left( {{x_{B\prime }} - 2,{y_{B\prime }} - 1,{z_{B\prime }} - 2} \right)\) \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccccc} x { _{B\prime }} - 2 = 2\\ {y_{B\prime }} - 1 = 5\\ {z_{B\prime }} - 2 = - 7 \end{array} \right. \Rightarrow B\prime \left( {4,6, - 5} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {AA\prime } = \overrightarrow {CC\prime } \Leftrightarrow A\prime \left( {3,5, - 6} \right)\) \(\overrightarrow {DD\prime } = \overrightarrow {CC\prime } \Leftrightarrow D\prime \left( {3,4, - 6} \right)\)
Câu 401: Cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{z}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + \left( {m + 3} \right)y + \left( {4m - 1} \right)z + 1 = 0.\) Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giá trị của m sao cho \(\sin \alpha = \frac{8}{{\sqrt {406} }}.\) A. \(m=-1\) B. \(m=1\) C. \(m=1\) và \(m=-1\) D. \(m=2\) và \(m=-2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \left( {1;3; - 2} \right)}\\ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} = \left( {2;m + 3;4m - 1} \right)} \end{array} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{8}{{\sqrt {406} }} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}} \right. \) \(= \frac{{\left| {13 - 5m} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {17{m^2} - 2m + 14} }}\)\(= \frac{{\left| {13 - 5m} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {17{m^2} - 2m + 14} }}\) \(\Leftrightarrow 8\sqrt {17{m^2} - 2m + 14} = \sqrt {29} \left| {13 - 5m} \right|\) \(\Leftrightarrow 64\left( {17{m^2} - 2m + 14} \right) = 29{\left( {13 - 5m} \right)^2} \Leftrightarrow m = 1.\)
