Câu 402: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với \(A\left( {1;6;2} \right);B\left( {5;1;3} \right);C\left( {4;0;6} \right);D\left( {5;0;4} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). A. \(\left( S \right):{\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = \frac{8}{{223}}\) B. \(\left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = \frac{4}{{223}}\) C. \(\left( S \right):{\left( {x + 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{16}}{{223}}\) D. \(\left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{8}{{223}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(A\left( {1;6;2} \right);{\rm{ }}B\left( {5;1;3} \right);{\rm{ }}C\left( {4;0;6} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overline {AB} = \left( {4; - 5;1} \right)}\\ {\overline {AC} = \left( {3; - 6;4} \right)} \end{array} \Rightarrow \left[ {\overline {AB} ;\overline {AC} } \right]} \right.\) \(= \left( { - 14; - 13; - 9} \right)\) Suy ra phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \(14\left( {x - 1} \right) + 13\left( {y - 6} \right) + 9\left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(14x + 13y + 9z - 110 = 0\) \(\Rightarrow d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{4}{{\sqrt {446} }}\) \(\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{8}{{223}}\) là phương trình mặt cầu cần tìm.
Câu 403: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \(\left( P \right):2x + y - z = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (P). A. \(2x - y - z = 0\) B. \(2x - y + z = 0\) C. \(x + 2y + z = 0\) D. \(x - 2y - 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}\) là VTPT của mặt phẳng (Q) Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;1; - 1)\) Đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;3} \right)\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {d \subset \left( Q \right)}\\ {\left( Q \right) \bot \left( P \right)} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_d}} }\\ {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_{\left( P \right)}}} } \end{array}} \right.} \right.\) Chọn \(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_d}} } \right] = \left( { - 4;8;0} \right) = - 4(1; - 2;0)\) Vậy: \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 2;0)\) Mặt khác \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) qua M(1;0;-1) nên \(M\in (Q)\) nên phương trình mặt phẳng (Q) là: \(\left( Q \right):x - 2y - 1 = 0.\)
Câu 404: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 + 2t}\\ {y = 5 - 3mt} \end{array}}\\ {z = - 1 + t} \end{array}} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x - 4y + 2z - 5 = 0\) . Giá trị nào của m để đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P). A. \(m=\frac{3}{2}\) B. \(m=\frac{2}{3}\) C. \(m=-\frac{5}{6}\) D. \(m=\frac{5}{6}\) Spoiler: Xem đáp án (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 4;2} \right)\) và đường thẳng d có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3m;1} \right)\) Để (d) vuông góc với (P) thì \(\overrightarrow n\) và \(\overrightarrow u\) cùng phương suy ra \(\overrightarrow n = k.\overrightarrow u \,(k \ne 0)\) hay: \(\left\{ \begin{array}{l} 4 = k.2\\ - 4 = k.( - 3m)\\ 2 = k.1 \end{array} \right. \Rightarrow k = 2 \Rightarrow m = \frac{2}{3}.\)
Câu 405: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {1;1;1} \right),C\left( {2;3;0} \right).\) Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). A. \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;1;1)\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = (1; - 1; - 1)\) C. \(\overrightarrow {{n_3}} = ( - 1; - 1;1)\) D. \(\overrightarrow {{n_4}} = (1; - 1;1)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\vec{n}\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Khi đó: \(\overrightarrow n = k\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = k\left( {1; - 1; - 1} \right)\,\,(k \in\mathbb{R} )\) Chọn \(k = 1 \Rightarrow \overrightarrow n = (1; - 1; - 1).\)
Câu 406: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = t\\ z = 2 - t \end{array} \right..\) Vectơ nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng d? A. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;0;2} \right)\) B. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;1;2} \right)\) C. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;0; - 1} \right)\) D. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;1; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Từ phương trình suy ra d có VTCP: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;1; - 1} \right)\)
Câu 407: Trong không gian với hệ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;2;1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. A. \(x + y - z - 2 = 0\) B. \(y-z=0\) C. \(z-x=0\) D. \(x-y=0\) Spoiler: Xem đáp án Trung điểm của AB là I(2;2;2) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I(2;2;2) và nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình là: \((x - 2) + 0(y - 2) - (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - z = 0 \Leftrightarrow z - x = 0.\)
Câu 408: Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z - 7 = 0,\,\,\left( Q \right):3x + 2y - 12z + 5 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). A. \(x + 2y + 3z = 0\) B. \(x + 3y + 2z = 0\) C. \(2x + 3y + z = 0\) D. \(3x + 2y + z = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) Mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyến: \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;2; - 12} \right)\) Do (R) vuông góc với (P) và (Q) nên \(\overline u = \left[ {\overline {{u_1}} ,\overline {{u_2}} } \right] = \left( {10;15;5} \right) = 5\left( {2;3;1} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến. Mặt khác (R) đi qua gốc tọa độ nên có phương trình là: \(2x + 3y + z = 0.\)
Câu 409: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {2;0;0} \right);B\left( {0;4;0} \right);C\left( {0;0;6} \right)\) và \(D\left( {2;4;6} \right).\) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC). A. \(d = \frac{{24}}{7}\) B. \(d = \frac{{16}}{7}\) C. \(d = \frac{{8}}{7}\) D. \(d = \frac{{12}}{7}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1.\) Khoảng cách từ \(D\left( {2;4;6} \right)\) đến (ABC): \(d = \frac{{\left| {\frac{2}{2} + \frac{4}{4} + \frac{6}{6} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{7}.\)
Câu 410: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {2;1;3} \right).\) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 .\) A. \(M\left( {3; - 2; - 3} \right)\) B. \(M\left( {3; - 2;3} \right)\) C. \(M\left( {3; - 2; - 3} \right)\) D. \(M\left( {3;2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = 0\) \(\Rightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;0} \right)\) Suy ra \(M\left( {3; - 2;3} \right)\)
Câu 411: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm \(A\left( {3;2; - 1} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z = 0.\) A. \(H\left( {2;1;0} \right)\) B. \(H\left( {1;0;1} \right)\) C. \(H\left( {0;1;1} \right)\) D. \(H\left( {2; - 1;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra phương trình d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t\\ y = 2 + t\\ z = - 1 - t \end{array} \right.\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P) thì H là giao điểm của d và (P). H thuộc d suy ra: \(H\left( {3 + t;2 + t; - 1 + t} \right)\) Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \(3 + t + 2 + t + 1 + t = 0 \Leftrightarrow 3t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 2.\) Vậy: \(H\left( {1;0;1} \right).\)
