Câu 412: Mặt phẳng (Oxyz) cắt mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 4z - 3 = 0\) theo một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó. A. \(\left( { - 1;0;0} \right)\) B. \(\left( {0; - 1;2} \right)\) C. \(\left( {0;2; - 4} \right)\) D. \(\left( {0;1; - 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (Oxyz) là nên ta loại được đáp án A. Véc tơ pháp tuyến của (Oxyz) là \(\overrightarrow u = \left( {1;0;0} \right).\) Tọa độ tâm của mặt cầu S là \(I\left( { - 1;1; - 2} \right)\). Gọi điểm J là điểm cần tìm có \(J\left( {0;b;c} \right).\) \(\overrightarrow {JI} = ( - 1;1 - b; - 2 - c)\) Do IJvuông góc với (Oxyz) nên \(\overrightarrow {JI}\) song song với \(\overrightarrow u = \left( {1;0;0} \right)\) Suy ra: \(\overrightarrow {OI} = k.\overrightarrow u \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = k\\ 1 - b = 0\\ - 2 - c = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = - k\\ b = 1\\ c = - 2 \end{array} \right.\) Suy ra \(b = 1;c = - 2.\) Vậy \(\left( {0;1; - 2} \right).\)
Câu 413: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0,{\rm{ }}2x + 2y + z + 2m = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để (P) tiếp xúc với (S)? A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 Spoiler: Xem đáp án (S) có tâm là I(1;-1;1) và bán kính R=3. Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - 2 + 1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {2m + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 4\\ m = - 5 \end{array} \right..\)
Câu 414: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {3; - 2;3} \right),I\left( {1;0;4} \right).\) Tìm tọa độ điểm N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. A. N(5;-4;2). B. N(0;1;2). C. \(N\left( {2; - 1;\frac{7}{2}} \right).\) D. N(-1;2;5). Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(N(x,y,z)\) Do I là trung điểm của MN nên: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\ {y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\ {z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_N} = 2{x_I} - {x_M}\\ {y_N} = 2{y_I} - {y_M}\\ {z_N} = 2{z_I} - {z_M} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_N} = - 1\\ {y_N} = 2\\ {z_N} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow M( - 1;2;5).\)
Câu 415: Nhà Văn hóa Thanh niên của thành phố X muốn trang trí đèn dây led gần cổng để đón xuân Đinh Dậu 2017 nên đã nhờ bạn Na đến giúp. Ban giám đốc Nhà Văn hóa Thanh niên chỉ cho bạn Na biết chỗ chuẩn bị trang trí đã có hai trụ đèn cao áp mạ kẽm đặt cố định ở vị trí và có độ cao lần lượt là 10 mét và 30 mét khoảng cách giữa hai trụ đèn 24 mét và cũng yêu cầu bạn Na chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân trụ đèn để giăng đèn dây Led nối đến hai đỉnh C và D của trụ đèn (như hình vẽ). Hỏi bạn Na phải đặt chốt ở vị trí cách trụ đèn B trên mặt đất là bao nhiêu để tổng độ dài của hai sợi dây đèn led ngắn nhất. A. 20 (m) B. 6 (m) C. 18 (m) D. 12 (m) Spoiler: Xem đáp án Gọi E là điểm đối xứng của C qua AB. Gọi \(M = DE \cap AB,\) khi đó bạn Na đặt chốt ở vị trí M thì tổng độ dài hai sợi dây đèn led ngắn nhất. Ta có \(\frac{{AE}}{{BD}} = \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MB = 3MA.\) Mà MB+MA=AB=24, suy ra MA=6 và MB=18.
Câu 416: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;1;0) và \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 1;0} \right).\) Tìm tọa độ của điểm N. A. N(4;2;0) B. N(-4;-2;0) C. N(-2;0;0) D. N(2;0;0) Spoiler: Xem đáp án Gọi N(x,y,z) là điểm cần tìm. Ta có: \(\overrightarrow {MN} \left( {x - 3;y - 1;z} \right).\) Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 3 = - 1\\ y - 1 = - 1\\ z = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 0\\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow N\left( {2;0;0} \right)\).
Câu 417: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3{;_{}}1{;_{}}2} \right),B\left( {1{;_{}}5{;_{}}4} \right).\) Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn AB? A. \(x - 2y - z + 7 = 0.\) B. \(x + y + z - 8 = 0.\) C. \(x + y - z - 2 = 0.\) D. \(2x + y - z - 3 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng trung trực (P) đi qua trung điểm I(2;3;3) của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB nên (P) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4;2} \right)\) làm véctơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của (P) là: \(- 2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y - 3} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2x + 4y + 2z - 14 = 0\) hay \(x - 2y - z + 7 = 0\).
Câu 418: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 1 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của (P)? A. \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 1} \right).\) B. \(\overrightarrow n = \left( {-2; 1; - 1} \right).\) C. \(\overrightarrow n = \left( {2; 1; - 1} \right).\) D. \(\overrightarrow n = \left( {-1; 1; - 1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 1 = 0.\) có VTPT là \(\overrightarrow n =k \left( {-2; 1; - 1} \right).\) Với k=-1 thì \(\overrightarrow n = \left( { - 2{;_{}}1{;_{}} - 1} \right).\)
Câu 419: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(12;8;6). Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. A. \(2x + 3y + 4z - 24 = 0.\) B. \(\frac{x}{{ - 12}} + \frac{y}{{ - 8}} + \frac{z}{{ - 6}} = 1.\) C. \(\frac{x}{6} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1.\) D. \(x + y + z - 26 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \((\alpha)\) cắt các trục tại các điểm \(A\left( {12;0;0} \right),\,B\left( {0;8;0} \right),\,C\left( {0;0;6} \right)\) nên phương trình \((\alpha)\) là \(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{8} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4z - 24 = 0\).
Câu 420: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A(2;-1;3)$, $B(1;2;-4)$, $C(3;5;2)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC? A. \(x - y + 2z + 9 = 0.\) B. \(x - y + 2z - 9 = 0.\) C. \(2x + 3y - 6z - 19 = 0.\) D. \(2x + 3y + 6z - 19 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;3) và vuông góc với đường thẳng BC nên nhận vectơ \(\overrightarrow {CB} = \left( {2;3;6} \right)\) làm véctơ pháp tuyến. Khi đó phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: \(2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) + 6\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 19 = 0.\)
Câu 421: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;3;5} \right),{\rm{ }}B\left( {2;0;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;9;0} \right).\) Tìm trọng tâm G của tam giác ABC. A. G(3;12;6) B. G(1;5;2) C. G(1;0;5) D. G(1;4;2) Spoiler: Xem đáp án Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 2 + 0}}{3} = 1\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + 0 + 9}}{3} = 4\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{5 + 1 + 0}}{3} = 2 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow G\left( {1;4;2} \right).\)
