Câu 422: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu của A(1;2;3) trên các trục tọa độ. A. \(x + 2y + 3z = 0\) B. \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0\) C. \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) D. \(x + 2y + 3z = 1\) Spoiler: Xem đáp án Công thức cho dạng mặt phẳng đi qua hình chiếu của một điểm M(a;b;c) lên 3 trục tọa độ: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\) Áp dụng với A(1;2;3) phương trình mặt phẳng (P) là: \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1.\)
Câu 423: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(-1;2;3) và B(3;-1;2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn \(MA.\overrightarrow {MA} = 4MB.\overrightarrow {MB}.\) A. \(M\left( {\frac{5}{3};0;\frac{7}{3}} \right)\) B. \(M(7;-4;1)\) C. \(M\left( {1;\frac{1}{2};\frac{5}{4}} \right)\) D. \(M\left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(MA.\overrightarrow {MA} = 4MB.\overrightarrow {MB}\) suy ra \(\overrightarrow {MA}\) và \(\overrightarrow {MB}\) suy ra: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} > 0.\) \(MA.\overrightarrow {MA} = 4MB.\overrightarrow {MB} \Rightarrow M{A^2} = 4M{B^2} \Rightarrow MA = 2MB\) Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \\ \overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \end{array} \right.\\ \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \Rightarrow M(7; - 4;1).\)
Câu 424: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {3;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right);C\left( {0;0;6} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right). \Delta\) là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến \(\Delta\) là lớn nhất. Hỏi \(\Delta\) đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. \(M\left( { - 1; - 2;1} \right)\) B. \(M\left( { 5;7;3} \right)\) C. \(M\left( { 3;4;3} \right)\) D. \(M\left( {7;13;5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1.\) Ta thấy \(D(1;1;1)\) thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng \(\Delta\) cắt mặt phẳng (ABC) tại D. Gọi hình chiếu của A; B; C lên đường thẳng \(\Delta\) là H; I; J thì ta luôn có \(AH \le AD;BI \le BD;CJ \le CD.\) Vậy để tổng khoảng cách từ A;B;C đến đường thẳng \(\Delta\) là lớn nhất thì \(\Delta\) phải vuông góc với (ABC) tại D. Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua D và nhận VTPT của (ABC) làm VTCP: \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{6}.\) Khi đó thay lần lượt các đáp án A;B;C:D vào phương trình đường thẳng \(\Delta\) ta thấy M(5;̉7;2)̃ thoã mãn.
Câu 425: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng \((P):2x + 2y + z - 3 = 0.\) A. \(d(O,(P)) = 1\) B. \(d(O,(P)) = \frac{1}{3}\) C. \(d(O,(P)) = 2\) D. \(d(O,(P)) = 3\) Spoiler: Xem đáp án \(d(O,(P)) = \frac{{\left| -3 \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 1.\)
Câu 426: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A$, $B$, $C$ sao cho \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 3} \right);\) \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 1;3} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right)\). Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác $ABC$. Tính giá trị của $Q = x+y+z$ A. Q=1 B. \(Q=\frac{1}{3}\) C. Q=2 D. Q=3 Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 3} \right);\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 1;3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right)\) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {3;3;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) là VTPT của mặt phẳng (ABC). Mặt khác (ABC) đi qua A nên có phương trình: \(\left( {ABC} \right):x + y + z - 1 = 0.\) \(\overrightarrow {AH} = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right);\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 1;z + 2} \right);\overrightarrow {CH} = \left( {x;y;z - 1} \right)\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\ {\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0} \end{array}}\\ {H \in \left( {ABC} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2x - y + 3z = 2}\\ { - x + y = - 1} \end{array}}\\ {x + y + z - 1 = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{9};\frac{{ - 4}}{9};\frac{8}{9}} \right).\)
Câu 427: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm \(A(1;2;1);B(3;2;3)\); có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - 3 = 0,\) đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)? A. R=1 B. \(\sqrt{2}\) C. R=2 D. \(2\sqrt{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là tâm mặt cầu (S) \(I\left( {a,b,c} \right).\) Suy ra \(a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I\left( {b + 3;b;c} \right)\) \(I{A^2} = I{B^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {b^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\) Rút gọn ta được \(c=1-2b\) \({R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - 2b} \right)^2} = 4{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2\) Suy ra: \(\min R = 2\sqrt 2\) khi b = 0
Câu 428: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho $B(0;3;1)$, $C(-3;6;4)$. Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MC=2MB. Tính độ dài đoạn AM. A. \(AM = 2\sqrt 7\) B. \(AM = \sqrt {29 }\) C. \(AM = 2\sqrt {3 }\) D. \(AM = \sqrt {30 }\) Spoiler: Xem đáp án Điểm \(M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {BM} = \left( {x;y - 3;z - 1} \right)\\ \overrightarrow {CM} = \left( {x + 3;y - 6;z - 4} \right) \end{array} \right.\) Mà \(MC = 2MB \Rightarrow \overrightarrow {CM} = - 2\overrightarrow {BM} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 4\\ z = 3 \end{array} \right.\) Suy ra tọa độ \(M(-1;4;3)\). Khi đó: \(M\left( { - 1;4;3} \right),A\left( {2;0;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \left( {2; - 4; - 3} \right) \Rightarrow MA = \sqrt {29} .\)
Câu 429: Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\). A. 2x - y + 3z + 7 = 0 B. 2x + y - 3z + 7 = 0 C. 2x + y + 3z + 7 = 0 D. 2x - y + 3z - 7 = 0 Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng (P) nên có VTPT: \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2; - 1;3)\) Mặt khác mặt phẳng đó đi qua A(1;3;-2) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0\)
Câu 430: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0.\) Tìm giao điểm I của (d ) và (P). A. I(2;4;-1) B. I(1;2;0) C. I(1;0;0) D. I(0;0;1) Spoiler: Xem đáp án Do \(I \in \left( d \right) \Rightarrow I\left( {t + 1;2t + 2;3t + 4} \right)\) Thay vào phương trình (P) ta có: \(t + 1 + 4\left( {2t + 2} \right) + 9\left( {3t + 4} \right) - 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\) Suy ra điểm I(0;0;1)
Câu 431: Trong không gian với hệ trục Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox. A. x + y - z = 0 B. 2y - z + 1 = 0 C. y - 2z + 2 = 0 D. x + 2z - 3 = 0 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(A\left( {1;0;1} \right),{\bf{B}}\left( { - 1;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{ox}}} = \left( {1;0;0} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_{ox}}} } \right] = \left( {0;1; - 2} \right).\) Vì (P) chứa AB và song song với Ox nên (P) có VTPT \(\overrightarrow {n{ _{\left( P \right)}}} = \left( {0;1; - 2} \right).\) Mặt khác (P) đi qua A nên có phương trình: y-2z+2=0
