Câu 432: Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng $(P): x+y+z=0$. A. (-1;0;1) B. (-2;0;2) C. (-1;1;0) D. (-2;2;0) Spoiler: Xem đáp án Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}.\) Gọi H là hình chiếu của A trên mp (P) suy ra H là giao điểm của d và (P). H thuộc d nên tọa độ có dạng \(H\left( {t;t + 1;t + 2} \right).\) Thay vào phương trình của (P): \(t + t + 1 + t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( { - 1;0;1} \right).\)
Câu 433: Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.\) A. \(x + 2y - 5 = 0\) B. \(2x + y - z + 4 = 0\) C. \(- 2x - y + z - 4 = 0\) D. \(- 2x - y + z + 4 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}\) là VTPT của mặt phẳng (P). \(\overrightarrow {{u_d}}\) là VTCP của đường thẳng d. Mặt phẳng (P) vuông góc với \(\left( d \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đi qua điểm A(1;2;0). Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là \(2\left( {x - 1} \right) + y - 2 - z = 0 \Leftrightarrow - 2x - y + z + 4 = 0.\)
Câu 434: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(2;0;-1) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {4; - 6;2} \right).\) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\). A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t\\ y = - 3t\\ z = - 1 + t \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 2t\\ y = - 3t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 4t\\ y = - 6t\\ z = 1 + 2t \end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 2t\\ y = - 3t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án \(\Delta\) đi qua điểm M(2;0;-1) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {4; - 6;2} \right) = 2\left( {2; - 3;1} \right)\) nên có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t\\ y = - 3t\\ z = - 1 + t \end{array} \right.\)
Câu 435: Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z = 0.\) A. \(x - 2y - 1 = 0\) B. \(x - 2y + z = 0\) C. \(x + 2y - 1 = 0\) D. \(x + 2y + z = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (Q) có VTPT \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (2;1; - 1).\) Đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;3} \right).\) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} .\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 4;8;0} \right)\) Gọi \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}\) là vecto pháp tuyến của \(\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = k\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} .\overrightarrow {{u_d}} } \right] = k\left( { - 4;8;0} \right) = (1; - 2;0)\) Vậy phương trình mặt phẳng là \(1(x - 1) - 2(y - 0) + 0(z + 1) = 0\) hay \(x - 2y - 1 = 0.\)
Câu 436: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\) song song với mặt phẳng (P): \(x + y - z + m = 0.\) A. \(m\neq 0\) B. \(m=0\) C. \(m\in \mathbb{R}\) D. Không có giá trị nào của m Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có VTPT: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (1;1; - 1).\) Đường thẳng \(\Delta\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (2; - 1;1).\) Ta có: \(\Delta // \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\\ M\left( {1; - 2; - 1} \right) \notin \left( P \right)\left( {M \in \Delta } \right) \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2.1 - 1 - 1 = 0\\ 1 - 2 + 1 + m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0.\)
Câu 437: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(3;0;0), N(0;0;4). Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. MN = 5 B. MN = 10 C. MN = 1 D. MN = 7 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {MN} = ( - 3;0;4) \Rightarrow MN = 5.\)
Câu 438: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(−2;2;1), A(1;2;−3) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\) Tìm véctơ chỉ phương \(\vec{u}\) của đường thẳng Δ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. A. \(\vec{u}=(1;0;2)\) B. \(\vec{u}=(2;1;6)\) C. \(\vec{u}=(2;2;-1)\) D. \(\vec{u}=(3;4;-4)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d nên có phương trình: \(2(x + 2) + 2(y + 2) - (z - 1) = 0\) Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (P): \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + 2t\\ z = - 3 - t \end{array} \right.\) Giao điểm B của d1 và (P) là nghiệm của phương trình: \(\begin{array}{l} 2(2t + 3) + 2(2t + 4) - ( - t - 4) = 0\\ \Leftrightarrow 9t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = - 2. \end{array}\) Vậy giao điểm \(B( - 3; - 2; - 1) \Rightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow {MB} = \left( {1;0;2} \right).\)
Câu 439: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z - m = 0\) có bán kính R = 5. Tìm giá trị của m. A. m = -4 B. m = -16 C. m = 16 D. m = -4 Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu tâm I(1;-2;2). Ta có: \(\begin{array}{l} R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m} = 5 \Rightarrow m = 16. \end{array}\)
Câu 440: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):-3x+2z–1=0$. Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng (P). A. \(\vec{n}=(3;0;2)\) B. \(\vec{n}=(3;2;-1)\) C. \(\vec{n}=(-3;2;-1)\) D. \(\vec{n}=(-3;0;2)\) Spoiler: Xem đáp án Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\vec{n}=(-3;0;2)\)
Câu 441: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\) và \(d':\frac{x}{6} = \frac{{y - 4}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. d // d' B. \(d \equiv d'\) C. d và d' cắt nhau D. d và d' chéo nhau Spoiler: Xem đáp án Ta có VTCP của đường thẳng d và d’ lần lượt là \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 3;1;2)\) và \(\overrightarrow {u{'_d}} = \left( {6; - 2;4} \right) = - 2\left( { - 3;1; - 2} \right).\) Suy ra d song song hoặc trùng d’. Ta có: \(M(2; - 2; - 1) \in d,\) thay điểm M vào đường thẳng d’ ta được: \(\frac{2}{6} \ne \frac{{ - 2 - 4}}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 1 - 2}}{4} \Rightarrow M \notin d'.\) Vậy d//d’.
