Câu 442: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 16 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{z}{2}.\) Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S). A. \((P):2x - 2y + z - 8 = 0\) B. \((P): - 2x + 11y - 10z - 105 = 0\) C. \((P): - 2x + 2y - z + 11 = 0\) D. \((P):2x - 11y + 10z - 35 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu có tâm I(1;2;-2), bán kính R=5. Ta có điểm M(1;-3;0) thuộc d, thay vào phương trình mặt phẳng (P) ở các phương án loại B và C. Cón lại phương án A và D, ta kiểm tra bằng cách tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). \({d_1} = \frac{{\left| {2.1 - 2.2 + 1( - 2) - 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 4\ne 5\) \({d_1} = \frac{{\left| {2.1 - 11.2 + 10( - 2) - 35} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 11} \right)}^2} + {{10}^2}} }} = 5\) Vậy D là phương án đúng.
Câu 443: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 4), B(-1;1;4), C(0;0;4). Tìm số đo của góc $\widehat {ABC}$. A. $135^0$ B. $60^0$ C. $45^0$ D. $120^0$ Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 1;0} \right)\) \(\begin{array}{l} \cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} = {135^0}. \end{array}\)
Câu 444: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2,-3,1) và đường thẳng \(\Delta: \begin{cases} & x=2t-1 \\ & y=-t-2\\ & z= 2t\end{cases}\) . Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua $$. A. \(M'(3; - 3;0)\) B. \(M'(1; - 3;2)\) C. \(M'(0; - 3;3)\) D. \(M'( - 1; - 2;0)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta\) Suy ra: \(H\left( {2t - 1; - t - 2;2t} \right),\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) \(\begin{array}{l} \overrightarrow {MH} = \left( {2t - 3; - t + 1;2t - 1} \right)\\ MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\\ \Leftrightarrow 2(2t - 3) - ( - t + 1) + 2(2t - 1) = 0\\ \Leftrightarrow 4t - 6 + t - 1 + 4t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow H(1; - 3;2) \Rightarrow M'(0; - 3;3). \end{array}\)
Câu 445: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. A. \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 8 = 0\) B. \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\) C. \(\left( P \right):x + 2y + z - 6 = 0\) D. \(\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}}\) (H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác ABC) Khi đó \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}}\) (N là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác COH) Để \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\frac{1}{{O{N^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất hay chính là độ dài ON phải lớn nhất. Mà ta có N là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác COH nên \(ON\perp (ABC)\) do đó \(ON \leq OM\). Vậy ON muốn lớn nhất thì N trùng với M, khi đó suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow{OM}=(1;2;1)\). Vậy phương trình (P) là: \(\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(\left( P \right):x + 2y + z - 6 = 0\)
Câu 446: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Tìm hình chiếu vuông góc của \(\left( \Delta \right)\) trên mặt phẳng (Oxy). A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = - 1 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 0 \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 1 + t\\ z = 0 \end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 0 \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\). Hình chiếu vuông góc của \(\left( \Delta \right)\) trên mặt phẳng (Oxy) nên z=0 suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 0 \end{array} \right.\)
Câu 447: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho G(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. A. \(\left( P \right):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\) B. \(\left( P \right):x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 3\) C. \(\left( P \right):x + y + z - 6 = 0\) D. \(\left( P \right):x + 2y + 3{\rm{z}} - 14 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại 3 điểm A, B, C nên ta có tọa độ \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) Vì theo giả thiết G là trọng tâm tam giác ABC, G(1;2;3) nên ta có \(a = 3;b = 6;c = 9\) Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\).
Câu 448: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(4;1;1) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 3t\\ y = 2 + t\\ z = 1 - 2t \end{array} \right.\). Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng d. A. H(3;2;-1) B. H(2;3;-1) C. H(-4;1;3) D. H(-1;2;1) Spoiler: Xem đáp án Từ phương trình tham số của đường thẳng d có vecto chỉ phương d là \(\overrightarrow u \left( {3;1; - 2} \right)\) Vì H nằm trên đường thẳng d nên \(H\left( { - 1 + 3t;2 + t;1 - 2t} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MH} \left( { - 5 + 3t;1 + t; - 2t} \right)\) Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên d nên \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 3\left( { - 5 + 3t} \right) + 1 + t - 2.\left( { - 2t} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow 14t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) Khi đó \(H(2;3;-1)\)
Câu 449: Trong không gian \(\left( {O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k } \right)\), cho \(\overrightarrow {OI} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 2\overrightarrow k\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x - 2y - 2z - 9 = 0.\) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P). A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {OI} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 2\overrightarrow k \Rightarrow I\left( {2;3; - 2} \right)\) Tâm của mặt cầu: I(2;3;-2) Bán kính của mặt cầu: \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 2.3 - 2.\left( { - 2} \right) - 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{9}{3} = 3\) Vậy, phương trình mặt cầu (S) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\)
Câu 450: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB. A. \(AB:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\) B. \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\) C. \(AB:x - y + z - 3 = 0\) D. \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)\) Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)\) đi qua điểm A(1;0;2) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\)
Câu 451: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(A\left( {1;2;0} \right);B\left( {3; - 1;1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và bán kính AB. A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 14\) B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 14\) C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 14\) D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 14\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu tâm A(1;2;0) và bán kính \(R = AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + 1} = \sqrt {14}\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 14\)
