Câu 452: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC. A. \(S=1\) B. \(S=\frac{1}{2}\) C. \(S=\sqrt{3}\) D. \(S=\sqrt{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right) \) \(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\)\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}.\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt{3}\)
Câu 453: Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z + 1 = 0,\) \(\left( Q \right):2x + y + z - 1 = 0.\) Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu. A. \(r=\sqrt{2}\) B. \(r=\sqrt{\frac{5}{2}}\) C. \(r=\sqrt{3}\) D. \(r=\sqrt{\frac{7}{2}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là tâm của (S) và r là bán kính của (S), ta có: \({R^2} = {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) + {2^2} = {d^2}\left( {I;\left( Q \right)} \right) + {r^2}\) Gọi I(x;0;0) thì ta có: \(\begin{array}{l} {d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) + {2^2} = {d^2}\left( {I;\left( Q \right)} \right) + {r^2} \Rightarrow {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} - {\left( {\frac{{2x - 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} + {2^2} - {r^2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 1 - 4{x^2} + 4x - 1}}{6} + {2^2} - {r^2} = 0 \end{array}\) \(\Leftrightarrow \frac{{ - 3{x^2} + 6x}}{6} + {2^2} - {r^2} = 0\) \(\Leftrightarrow - \frac{1}{2}{x^2} + x + {2^2} - {r^2} = 0\,(*)\) Yêu cầu bài toán trở thành tìm r > 0 để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm. Xét phương trình (*): \(\Delta = 1 + 2({2^2} - {r^2}) = 5 - 2{r^2}\) \(\Delta = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{5}{2}\,} \,\,(do\,\,r > 0).\)
Câu 454: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S): (x-1)^2 + (y-2)^2 +(z-3)^2 = 16$ và mặt phẳng $(P): 4x + 3y - 12z = 0$. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song $(P)$. A. \(4x + 3y - 12z + 78 = 0\) B. \(4x + 3y - 12z + 26 = 0\) hoặc \(4x + 3y - 12z - 78 = 0\) C. \(4x + 3y - 12z - 26 = 0\) D. \(4x + 3y - 12z - 26 = 0\) hoặc \(4x + 3y - 12z + 78 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu có tâm I(1;2;3) và có bán kính R=4, và mặt phẳng cần tìm có dạng \(\left( P \right):4{\rm{x}} + 3y - 12{\rm{z}} + m = 0\) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên \({d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}} = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 26} \right|}}{{13}} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 26\\ m = 78 \end{array} \right.\) Vật các mặt phẳng thỏa là: \(\left[ \begin{array}{l} 4x + 3y - 12z - 26 = 0\\ 4x + 3y - 12z + 78 = 0 \end{array} \right.\)
Câu 455: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\left( \beta \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\left( {m,n \in \mathbb{R} } \right)\) . Tìm giá trị của m và n để hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau? A. \(n=m=-4\) B. \(n=-4; m=4\) C. \(n=m=4\) D. \(n=4;m=-4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;m;3} \right)\\ \overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {n; - 8; - 6} \right) \end{array} \right.\) nên để \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) thì \(\frac{2}{n} = \frac{m}{{ - 8}} = \frac{3}{{ - 6}} \Rightarrow n = - 4;m = 4\)
Câu 456: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A, B, C$ và mặt phẳng $(P): $. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C. A. \(M\left( { - 7;3;2} \right)\) B. \(M\left( { 2;3;-7} \right)\) C. \(M\left( { 3;2;-7} \right)\) D. \(M\left( { 3;-7;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overline {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right);\overline {AC} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right);\left[ {\overline {AB} ;\overline {AC} } \right] = 2\left( {1;2; - 4} \right)\). Do \(\overline {AB} .\overline {AC} = 0\) nên tam giác ABC vuông tại A. Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua trung điểm \(M\left( {0; - 1;1} \right)\) của BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có PT là: \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}\left( d \right)\) Khi đó \(M = d \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( {2;3; - 7} \right)\) .
Câu 457: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1;2;1) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x - 3}}{{ - 3}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\) A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{107}}{8}\) B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{108}}{7}\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \frac{{107}}{8}\) D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 107\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 3; - 2; - 1} \right)\) Gọi \(M\in d\) sao cho \(IM \bot \left( d \right) \Rightarrow M\left( {3 - 3m; - 2m;1 - m} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {4 - 3m, - 2m - 2, - m} \right)\) Ta có: \(\overrightarrow {IM} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow m = \frac{4}{7} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {\frac{{16}}{7}; - \frac{{22}}{7}; - \frac{4}{7}} \right) \Rightarrow I{M^2} = \frac{{108}}{7}.\)
Câu 458: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M(1;3;-4)$ và hai đường thẳng $d_1, d_2$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$. A. \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\) B. \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}\) C. \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\) D. \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overline {{u_d}} = \left[ {\overline {{u_{{d_1}}}} ;\overline {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {2;2; - 8} \right) = 2\left( {1;1;4} \right)\) Do đó PT đường thẳng d là: \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}.\)
Câu 459: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;1)\) và \(B(1;3;-5)\) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB. A. \(y - 3z + 4 = 0\) B. \(y - 3z - 8 = 0\) C. \(y - 2z -6 = 0\) D. \(y - 2z + 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 6} \right),\) trung điểm của AB là \(M(1;2;-2).\) Mặt phẳng cần tìm đi qua \(M(1;2;-2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {0;1; - 3} \right)\) làm VTPT nên có phương trình: \(0(x - 1) + 1(y - 2) - 3(z + 2) = 0 \Leftrightarrow y - 3z - 8 = 0.\)
Câu 460: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow c = \left( { - 4;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c.\) A. \(\overrightarrow m = \left( { - 4;2;3} \right)\) B. \(\overrightarrow m = \left( { - 4;-2;3} \right)\) C. \(\overrightarrow m = \left( { - 4;-2;-3} \right)\) D. \(\overrightarrow m = \left( { - 4;2;-3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow m = \left( {3.2 - 2.3 - 4;3.\left( { - 1} \right) - 2.0 + 1;3.2 - 2.1 - 1} \right) = \left( { - 4; - 2;3} \right)\)
Câu 461: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(S\left( {0;0;1} \right),A\left( {1;1;0} \right)\). Hai điểm \(M\left( {m;0;0} \right),N\left( {0;n;0} \right)\) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). A. \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = 4\) B. \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = 2\) C. \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = \sqrt 2\) D. \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = 1\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng \(\left( {SMN} \right):\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + z - 1 = 0\) \(\Rightarrow d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + 1} }} = \frac{{\left| {m + n - mn} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} }}\\ = \frac{{\left| {1 - mn} \right|}}{{\sqrt {1 - 2mn + {m^2}{n^2}} }} = \frac{{\left| {1 - mn} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {1 - mn} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {1 - mn} \right|}}{{\left| {1 - mn} \right|}} = 1\)
