Câu 462: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { - 2;1;0} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}.\) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa đường thẳng \(\Delta\). A. \(\left( P \right):x - 7y - 4z + 9 = 0\) B. \(\left( P \right):3x - 5y - 4z + 9 = 0\) C. \(\left( P \right):2x - 5y - 3z + 8 = 0\) D. \(\left( P \right):4x - 3y - 2z + 7 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(\Delta\) qua \(N(2;1;1)\), vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1;2} \right)\) Gọi \(\overrightarrow {{n_P}}\) là VTPT của mặt phẳng (P) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( { - 1;7;4} \right)\) \(\Rightarrow \left( P \right):x - 7y - 4z + 9 = 0.\)
Câu 463: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1;0;2} \right).\) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d. A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\) B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 19\) D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(H\left( {1 + t;t; - 1 + 2t} \right) \in d\) Khi đó \(\overrightarrow {IH} = \left( {t;t;2t - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow t + t + 2\left( {2t - 3} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {IH} \left( {1;1; - 1} \right) \Rightarrow IH = \sqrt 3 = R\) Do đó phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3.\)
Câu 464: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $$ và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 2 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. d song song với d’ B. d vuông góc và không cắt d’ C. d trùng với d’ D. d và d’ chéo nhau Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2;1} \right),\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 1;0} \right)\) Lấy điểm \(M\left( { - 2;1;0} \right) \in d\) và \(M'\left( { - 2;2;0} \right) \in d'\) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \ne 0 \Rightarrow\) d và d’ chéo nhau.
Câu 465: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(-1; 3;1)$, $B(1;4;2)$. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm I. Tìm \(k\) biết $IA // IB$ A. \(k=-2\) B. \(k=2\) C. \(k=-\frac{1}{2}\) D. \(k=\frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(I\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) ta có:\(\overrightarrow {IB} = k.\overrightarrow {IA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - a = k\left( { - 1 - a} \right)\\ 4 - b = k\left( {3 - b} \right)\\ 2 = k.1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 3\\ b = 2\\ k = 2 \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {IB} = 2\overrightarrow {IA}\)
Câu 466: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \(A\left( {2;1;3} \right),B\left( {1; - 2;1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = 2t\\ z = - 3 - 2t \end{array} \right.\) A. \(\left( P \right):10{\rm{x}} - 4y - z - 19 = 0\) B. \(\left( P \right):10{\rm{x}} - 4y + z - 19 = 0\) C. \(\left( P \right):10{\rm{x}} - 4y - z + 19 = 0\) D. \(\left( P \right):10{\rm{x + }}4y + z - 19 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d có vecto chỉ phương \({\overrightarrow u _d} = \left( {1;2; - 2} \right)\) Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \(A\left( {2;1;3} \right),B\left( {1; - 2;1} \right)\) , song song với đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = 2t\\ z = - 3 - 2t \end{array} \right.\) nên (P) Có vecto pháp tuyến \({\overrightarrow n _p} = \left[ {AB;{{\overrightarrow u }_d}} \right] = \left( {10; - 4;1} \right)\) Vậy phương trình của (P) là: \(\left( P \right):10x - 4y + z - 19 = 0.\)
Câu 467: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):3x - 2y + 6 = 0\). Gọi $\Delta$ là giao tuyến của \((P )\) và \((Q )\). Tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ A. \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;4} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3;4} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3; - 4} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3; - 4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\overrightarrow u\) là VTCP của \(\Delta\) Mặt phẳng \((P )\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 2;0} \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( { - 2; - 3;4} \right)\)
Câu 468: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 2;1;3} \right),C\left( {2; - 1;3} \right)\). Gọi D(x;y;z) với \(x,y,z\in \mathbb{R}\) sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD. Tìm tọa độ D? A. \(D\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3};3} \right)\) B. \(D\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}; - 3} \right)\) C. \(D\left( { - 7;2; - 3} \right)\) D. \(D\left( {7; - 2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án C là trọng tâm của tam giác ABD thì \(\left\{ \begin{array}{l} {x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3} = \frac{{1 + \left( { - 2} \right) + {x_D}}}{3} = 2\\ {y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3} = \frac{{ - 2 + 1 + {y_D}}}{3} = - 1\\ {z_C} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_D}}}{3} = \frac{{3 + 3 + {z_D}}}{3} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 7\\ {y_D} = - 2\\ {z_D} = 3 \end{array} \right.\)
Câu 469: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $A(1;1;1);B(2;1;-1);C(0;4;6)$. Điểm $M$ di động trên trục hoành $Ox$. Tìm tọa độ điểm $M$ để $P = \left | \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \right | $ đạt giá trị nhỏ nhất. A. M(1;2;2) B. M(1;0;0) C. M(0;1;0) D. M(-1;0;0) Spoiler: Xem đáp án \(M \in 0x \Rightarrow M(a;0;0)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA} = (1 - a;1;1);\,\overrightarrow {MB} = (2 - a;1; - 1);\,\overrightarrow {MC} = \left( { - a;4;6} \right)\\ \Rightarrow P = \sqrt {{{\left( {3 - 3a} \right)}^2} + {6^2} + {6^2}} = 3\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 8} \ge 6\sqrt 2 \end{array}\) P nhỏ nhất khi a=1. Vậy tọa độ $M$ là: $M(1;0;0)$.
Câu 470: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $A(2;1;5)$, $B(-2;4;-3)$, $C(2;4;-1)$. Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến trung điểm cạnh AC. A. \(d = \frac{1}{2}\) B. \(d = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) C. \(d = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) D. \(d = 2\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của AC suy ra: \(M\left( {0;\frac{5}{2};1} \right)\) \(\Rightarrow GM = \frac{1}{2}\)
Câu 471: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;0;0); B(0;1;1); C(2;1;0); D(0;1;3). Tính thể tích V của tứ diện ABCD. A. V = 4 B. V = 4/3 C. V = 1/3 D. V = 2/3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {BD} = \left( {0;0;2} \right)\\ \overrightarrow {BC} = (2;0; - 1) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {0;4;0} \right).\) \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1;1;3} \right)\) Suy ra \(\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {BA} } \right| = 4\) Vậy thể tích tứ diện ABCD là: \(V = \frac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {BA} } \right| = \frac{2}{3}.\)
