Câu 472: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {1;2;1} \right),C\left( {4;1; - 2} \right)\) và mặt phẳng $(P): x+y+z=0$. Tìm trên (P) điểm M sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. A. \(M\left( {1;1; - 1} \right)\) B. \(M\left( {1;1; 1} \right)\) C. \(M\left( {1;2; - 1} \right)\) D. \(M\left( {1;0; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: \(G\left( {2;1;0} \right).\) Mặt khác: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\,\,\left( 1 \right)\) Từ hệ thức (1) ta suy ra: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt GTNN khi MG đạt GTNN hay M là hình chiếu vuông góc của G trên (P). Gọi d là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) nên d có phương là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + t\\ z = t \end{array} \right.\) Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + t\\ z = t\\ x + y + z = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 1\\ x = 1\\ y = 0\\ z = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;0; - 1} \right).\)
Câu 473: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( {2; - 1;5} \right),B\left( {5; - 5;7} \right)$ và $M\left( {x;y;1} \right)$ Với giá trị nào của \(x; y\) thì A, B, M thẳng hàng? A. x=-4; y=7 B. x=4; y=7 C. x=-4; y=-7 D. x=4; y=-7 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4;2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2;y + 1; - 4} \right).\) A, B, M thẳng hàng khi: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 16 - 2y - 2 = 0\\ 2x - 4 + 12 = 0\\ 3y + 3 + 4x - 8 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 4\\ y = 7 \end{array} \right.\)
Câu 474: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0;4} \right)\). A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x + 2y - 4z = 0\) B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} +x - 2y + 4z = 0\) C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 8z = 0\) D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} +2x -4y +8z = 0\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\left( S \right)\) (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C nên \(\left\{ \begin{array}{l} d = 0\\ 1 - 2a + d = 0\\ 4 + 4b + d = 0\\ 16 - 8c + d = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = - 1\\ c = 2\\ d = 0 \end{array} \right.\) Vậy phương trình \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - x + 2y - 4z = 0\).
Câu 475: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 5}}{1}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}.\) Xác định vị trí tương đối của d và d’. A. Chéo nhau B. Song song C. Cắt nhau D. Trùng nhau Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right),\left( {d'} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {3;2;2} \right)\) Vì \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v\) không cùng phương nên (d) cắt (d’) hoặc (d) chéo (d’). Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 5}}{1}\\ \frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{2} \end{array} \right.\) Vì hệ vô nghiệm nên (d) chéo (d’).
Câu 476: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {3,4, - 1} \right);B(0;2;3);C( - 3;5;4)\). Tính diện tích S của tam giác ABC. A. \(S=7\) B. \(S = \frac{{\sqrt {29} }}{2}\) C. \(S=\frac{29}{2}\) D. Đáp án khác. Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} ( - 1;4;4),\overrightarrow {AC} ( - 6;1;5)\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt {1562} }}{2} \end{array}\)
Câu 477: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 2z - 9 = 0$ và điểm $A\left( { - 2;1;0} \right)$. Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên mặt phẳng (P). A. \(H\left( {1;3; - 2} \right)\) B. \(H\left( {-1;3; - 2} \right)\) C. \(H\left( {1;-3; - 2} \right)\) D. \(H\left( {1;3; 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua A và \(\Delta \bot \left( P \right).\) \(\Delta\) đi qua A(-2;1;0) và có VTCP \(\overrightarrow a = \overrightarrow {{n_p}} = \left( {1;2; - 2} \right)\) => Phương trình \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 1 + 2t\\ z = - 2t \end{array} \right.\) Ta có: \(H = \Delta \cap \left( P \right) \Rightarrow\) tọa độ H thỏa hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 1 + 2t\\ z = - 2t\\ x + 2y - 2z - 9 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 3\\ z = - 2 \end{array} \right.\). Vậy \(H\left( { - 1;3; - 2} \right).\)
Câu 478: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d: \begin{cases} & x= 1 + t\\ & y= 2 - 3t\\ & z= 3 + t\end{cases}$ và mặt phẳng (Oyz). A. (0;5;2) B. (1;2;2) C. (0;2;3) D. (0;-1;4) Spoiler: Xem đáp án Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oyz) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 - 3t\\ z = 3 + t\\ x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 1\\ x = 0\\ y = 5\\ z = 2 \end{array} \right.\) Vậy, đường thẳng d cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm \(\left( {0;5;2} \right).\)
Câu 479: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I\left( {1;2; - 3} \right)$. Viết phương trình mặt cầu có tâm là I và bán kính $R=2$. A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\) B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\) C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 6z + 5 = 0\) D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z + 5 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 6z + 10 = 0\)
Câu 480: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {3;3;4} \right),C\left( { - 1;1;2} \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 điểm A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C B. 3 điểm A, B, C thẳng hàng và C nằm giữa A và B C. 3 điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa C và A D. 3 điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1;1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\), từ đây ta thấy \(\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {AC}\), suy ra A là trung điểm của BC.
Câu 481: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right),B\left( {0;1; - 2} \right)\) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ (Oxy). Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức \(T = \left| {MA - MB} \right|.\) A. \(M = \sqrt 6\) B. \(M = \sqrt {12}\) C. \(M = \sqrt {14}\) D. \(M = \sqrt 8\) Spoiler: Xem đáp án A, B nằm về hai phía so với mặt phẳng (Oxy), gọi B’ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy). Khi đó \(B'(0;1;2)\) và \(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA - MB'} \right|.\) Gọi I là giao điểm của AB’ với mặt phẳng (Oxy). Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác MAB’ ta có \(\left| {MA - MB'} \right| \le AB'\). Đấu bằng xảy ra khi \(M \equiv I\). Khi đó: \(\begin{array}{l} \left| {MA - MB} \right| = \left| {MA - MB'} \right| = AB'\\ = \sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 6 \end{array}\)
