Câu 482: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;-2;-1) và B(1;-1;2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA= 2MB. A. \(M\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\) B. \(M(2;0;5)\) C. \(M\left( {\frac{2}{3}; - \frac{4}{3};1} \right)\) D. \(M\left( { - 1; - 3; - 4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Do điểm M nằm trên đoạn thẳng AB nên \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB}\). Từ đây suy ra: \({x_M} - {x_A} = 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right) \Leftrightarrow {x_M} = \frac{{2{x_B} + {x_A}}}{3} = \frac{2}{3}.\) Vậy ta thấy ngay phương án đúng là C.
Câu 483: Trong không gian với tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}.\) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(3;1;0) và chứa đường thẳng (d). A. \(x + 2y + 4z - 1 = 0\) B. \(x - 2y + 4z - 1 = 0\) C. \(x - 2y + 4z + 1 = 0\) D. \(x - 2y - 4z - 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Lấy \(M\left( {3; - 1; - 1} \right)\) thuộc d. \(\overrightarrow {AM} \left( {0; - 2; - 1} \right);\,\overrightarrow u \left( { - 2;1;1} \right)\) Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua A nên có VTPT: \(\overrightarrow {{n_p}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - 1;2; - 4} \right).\) Vậy phương trình của (P) là: \(\left( P \right): - 1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - 4z = 0 \Rightarrow - x + 2y - 4z + 1 = 0\)
Câu 484: Trong không gian với tọa độ Oxyz cho đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}$ và đường thẳng $\left( {{d_2}} \right):\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z 2}}{{ - 1}}$. Xác định vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$. A. Cắt nhau B. Song song C. Chéo nhau D. Trùng nhau Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có VTCP lần lượt là: \(\overrightarrow u \left( {2;1; - 3} \right);\overrightarrow v \left( {2;2; - 1} \right)\) Lấy M(-1;1;-1) thuộc \(d_1\) N(-3;-2;-2) thuộc \(d_2\) \(\overrightarrow {MN} = ( - 2; - 3; - 1)\) Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {MN} = 0\) và \(\overrightarrow u \ne k.\overrightarrow v\) Vậy \({d_1},{d_2}\) cắt nhau.
Câu 485: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}.\) Tính khoảng cách d từ điểm M(-2;1;-1) tới d. A. \(d = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\) B. \(d = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\) C. \(d = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\) D. \(d = \frac{5}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {M_1}\left( {1;2; - 2} \right) \in d;\\ \overrightarrow {M{M_1}} \left( {3;1; - 1} \right);\\ d\left( {M;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {M{M_1}} .\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {\left( {0;5;5} \right)} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{3} \end{array}\)
Câu 486: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;-4) và B(1;0;2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. A. \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) B. \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{3}\) C. \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{3}\) D. \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;6} \right)\) Đường thẳng d đi qua A(-1;2;-4) nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;3} \right)\) làm VTCP nên có phương trình: \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{3}\)
Câu 487: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0.\) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu. A. \(I\left( { - 1;2; - 3} \right),R = \sqrt 5\) B. \(I\left( { 1;-2; 3} \right),R = \sqrt 5\) C. \(I\left( { 1;-2; 3} \right),R = 5\) D. \(I\left( { - 1;2; - 3} \right),R = 5\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 5 \end{array}\) Vậy mặt cầu có tâm I(1;-2;3), bán kính \(R = \sqrt 5 .\)
Câu 488: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0.\)Tính khoảng cách d từ điểm A(1;-2;-3) đến mặt phẳng (P). A. d=2 B. \(d=\frac{2}{3}\) C. \(d=\frac{1}{3}\) D. d=1 Spoiler: Xem đáp án \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.2 - 2\left( { - 3} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\)
Câu 489: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét các điểm \(A(0;0;1),\,B(m;0;0),\,\)\(C(0;n;0)\) và \(D(1;1;1)\) với \(m > 0,\,n > 0\) và \(m + n = 1.\) Biết rằng khi m, n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D. Tính bán kính R của mặt cầu đó. A. \(R = 1.\) B. \(R = \frac{\sqrt2}{2}\) C. \(R = \frac{3}{2}\) D. \(R = \frac{\sqrt3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I(a,b,c) và R là tâm và bán kính của mặt cầu cố định trong đề bài. Ta có: \(ID = \sqrt {{{(a - 1)}^2} + {{(b - 1)}^2} + {{(c - 1)}^2}} = R\,(*).\) Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + z = 1\) Nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) là: \(d\left( {I,(ABC)} \right) = \frac{{\left| {\frac{a}{m} + \frac{b}{n} + c - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + 1} }}\) Vì \(m + n = 1\) nên \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + 1 = {\left( {\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \right)^2} - \frac{2}{{m.n}} + 1 = \frac{1}{{{m^2}{n^2}}} - \frac{2}{{mn}} + 1 = {\left( {1 - \frac{1}{{mn}}} \right)^2}.\) Do đó: \(d\left( {I,(ABC)} \right) = \frac{{\left| {an + bm + cmn - mn} \right|}}{{1 - mn}} = R.\) Ta xét hai trường hợp: (1) Nếu \(an + bm + cmn - mn = R(1 - mn)\) thì thay n=1-m vào ta có: \(\begin{array}{l} a(1 - m) + bm + cm(1 - m) - m(1 - m) = R - Rm(1 - m)\\ \Leftrightarrow {m^2}(R + c - 1) + m(a - b - c - R + 1) - a + R = 0. \end{array}\) Đẳng thức này đúng với mọi \(m\in(0;1)\) nên \(R + c - 1 = a - b - c - R + 1 = - a + R = 0\) Hay a=b=R, c=1-R thay vào (*) thì: \(\sqrt {2{{(R - 1)}^2} + {R^2}} = R\) hay R=1. (2) Nếu \(an + bm + cmn - mn = - R(1 - mn)\) thì tương tự trên ta có: \(- R + c - 1 = a - b - c + R + 1 = - a - R = 0\) hay \(a = b = - R,c = R + 1.\) Suy ra: \(\sqrt {2{{(R + 1)}^2} + {R^2}} = R\) hay \(R=-1\) không thỏa yêu cầu bài toán. Vậy mặt cầu cần tìm là: \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 1.\)
Câu 490: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1},\,\,{d_2}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\) A. \((P):\,2x - 2z + 1 = 0\) B. \((P):\,2y - 2z + 1 = 0\) C. \((P):\,2x - 2y + 1 = 0\) D. \((P):\,2y - 2z - 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} \left( { - 1;1;1} \right)\\ \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \left( {2; - 1; - 1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {0;1; - 1} \right)\) Phương trình mặt phẳng có dạng \(\left( P \right):y - z + b = 0\) Khoảng cách từ d tới (P) biết d//(P) chính là khoảng cách từ 1 điểm bất kì từ d tới (P). Do (P) cách đều cả 2 đường thẳng đã cho nên lấy hai điểm A(2;0;0) và B(0;1;2) lần lượt thuộc \(d_1,d_2\) thì: \(\frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {b - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left| {b - 1} \right| = \left| b \right| \Rightarrow b = \frac{1}{2}.\) Do đó phương trình (P) là: \(y - z + \frac{1}{2} = 0\) hay \(2y - 2z + 1 = 0.\)
Câu 491: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A( - 2;3;1)\) và \(B(5; - 6; - 2)\). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số \(\frac{AM}{BM}\). A. \(\frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}\) B. \(\frac{AM}{BM}=2\) C. \(\frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}\) D. \(\frac{AM}{BM}=3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {7; - 9; - 3} \right)\) Suy ra phương trình đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 7t\\ y = 3 - 9t\\ z = 1 - 3t \end{array} \right.\) Do M nằm trong (Oxz) nên có \(y = 0 \Rightarrow 3 - 9t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\) Vậy tọa độ M là: \(M\left( {\frac{1}{3};0;0} \right) \Rightarrow \frac{{AM}}{{BM}} = \left| {\frac{{\frac{{ - 7}}{3}}}{{\frac{{14}}{3}}}} \right| = \frac{1}{2}\)
