Câu 41: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),B\left( {5; - 1;6} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2y\\z = 3 - t\end{array} \right.\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng song song với đường thẳng d đồng thời cách đều A, B và d? A. Không có mặt phẳng nào. B. Có đúng hai mặt phẳng. C. Có đúng một mặt phẳng. D. Có đúng ba mặt phẳng. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2;6} \right) \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng (AB) là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{3}.\) Do đó suy ra đường thẳng AB và đường thẳng d chéo nhau. Gọi (P) là mặt phẳng song song với đường thẳng d đồng thời cách đều A, B và d, khi đó, ta có các vị trí tương đối của mặt phẳng (P) như sau: * (P) đi qua trung điểm của (AB) và song song với d. * (P) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa A và d, đồng thời \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right)\). * (P) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa B và d, đồng thời \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right)\). Vậy có tất cả ba mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 42: Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\left( {2;1;1} \right)\), cắt đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}\) tại \(B\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) đồng thời song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + 3z - 3 = 0\). Tính \(K = - 2{x_1} + 4{y_1} + 4{z_1}\). A. \(K = - 17\) B. \(K = 37\) C. \(K = - 11\) D. \(K = - 21\) Spoiler: Xem đáp án Gọi B là giao điểm của d và \(\Delta \), điểm \(B \in d \Rightarrow B\left( {2t + 1;3t - 1;t + 4} \right)\) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2t - 1;3t - 2;t + 3} \right)\). Vì \(\left( \Delta \right)//\left( \alpha \right)\) nên: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = 0 \Leftrightarrow 2.\left( {2t - 1} \right) - \left( {3t - 2} \right) + 3\left( {t + 3} \right) = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{9}{4} \Rightarrow B\left( { - \frac{7}{2}; - \frac{{31}}{4};\frac{7}{4}} \right)\\ \Rightarrow K = - 2.\left( {\frac{{ - 7}}{2}} \right) + 4\left( {\frac{{ - 31}}{4}} \right).4.\frac{7}{4} = - 17.\end{array}\)
Câu 43: Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - mz + 1 = 0\). Khẳng định nào sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực m? A. (S) luôn tiếp xúc với trục Oz. B. (S) luôn tiếp xúc với trục Ox. C. (S) luôn đi qua gốc tọa độ. D. (S) luôn tiếp xúc với trục Oy. Spoiler: Xem đáp án Xét mặc cầu (S) tâm \(I\left( {1; - 2;\frac{m}{2}} \right);R = \sqrt {4 + \frac{{{m^2}}}{4}} \). Hình chiếu của I lên trục Ox là \(H\left( {1; - 2;\frac{m}{2}} \right)\). Lại có: \(IH = R = \sqrt {4 + \frac{{{m^2}}}{4}} \) Vậy mặt cầu (S) luôn tiếp xúc với trục Ox.
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {2;1; - 1} \right),B\left( {3;0;1} \right)\). Tìm điểm \(C \in Oz\) sao cho tam giác ABC vuông tại B. A. \(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\) B. \(C\left( {0;0;\frac{5}{2}} \right)\) C. \(C\left( {0;0;3} \right)\) D. \(C\left( {0;0;5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(C\left( {0;0;a} \right)\). Vì tam giác ABC vuông tại B nên \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0\)\( \Rightarrow 3 - 2a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}.\)
Câu 45: Gọi M là giao điểm của đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng (Oxy). Tính độ dài đoạn OM (với O là gốc tọa độ). A. \(OM = 2\) B. \(OM = \sqrt {13} \) C. \(OM = 3\) D. \(OM = 13\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{z}{1}\) giao \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) tại \(M\left( {2; - 3;0} \right)\) Khi đó: \(OM = \sqrt {4 + 9 + 0} = \sqrt {13} .\)
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;2} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và song song với trục Ox. A. \(x + y - z = 0\) B. \(x + 2z - 3 = 0\) C. \(y - 2z + 2 = 0\) D. \(2y - z + 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Vectơ chỉ phương của Ox là \(\overrightarrow u = \left( {1;0;0} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;1} \right)\) Vectơ chỉ phương của mặt phẳng cần tìm là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0; - 1;2} \right)\) Phương trình mặt phẳng đó là: \(0\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 0} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(y - 2z + 2 = 0.\)
Câu 47: Trong các điểm sao đây, điểm nào thuộc mặt phẳng (Oyz)? A. \(E\left( {1;1;1} \right)\) B. \(N\left( {1;0;1} \right)\) C. \(F\left( {0; - 2; - 2} \right)\) D. \(M\left( {2; - 4;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (Oyz): \(x = 0.\)
Câu 48: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ? A. \(\left( \phi \right):2x - y + 4z = 0\) B. \(\left( \alpha \right):y - 2z - 3 = 0\) C. \(\left( \beta \right):x - y + 3 = 0\) D. \(\left( \gamma \right):3x - 3y - z + 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(\left( \phi \right):2x - y + 4z = 0\) đi qua gốc tọa độ.
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),\,B\left( {0;4;0} \right)\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(2x - y - 2z + 2017 = 0\). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất bằng \(\alpha \). Tính \(\cos \alpha \). A. \(\frac{1}{9}\) B. \(\frac{2}{3}\) C. \(\frac{1}{6}\) D. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi mặt phẳng (Q) là ax + by + cz + d = 0. Ta lập các hệ sau với giả thiết đi qua A, B: \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b - c + d = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\4b + d = 0\,\,\,\left( 2 \right)\\\cos \alpha = \frac{{2a - b - 2c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }}\end{array} \right. \Rightarrow \left( 1 \right) - \left( 2 \right):a - 2b - c = 0 \to c = a - 2b\) \( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{2a - b - 2\left( {a - 2b} \right)}}{{3\sqrt {{a^2} + {b^2} + {{\left( {a - 2b} \right)}^2}} }} = \frac{b}{{\sqrt {2{a^2} - 4ab + 5{b^2}} }} = \frac{b}{{\sqrt {2{{\left( {a - b} \right)}^2} + 3{b^2}} }} \le \frac{b}{{\sqrt {3{b^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD với \(A\left( {1;0;1} \right),\,\,B\left( {2;1;2} \right)\). Giao điểm của 2 đường chéo là \(I\left( {\frac{3}{2};0;\frac{3}{2}} \right)\). Tính diện tích của hình bình hành đó. A. \(\sqrt 2 \) B. \(\sqrt 5 \) C. \(\sqrt 6 \) D. \(\sqrt 3 \) Spoiler: Xem đáp án Ta có I là trung điểm của AC và BD. Suy ra tọa độ các điểm C, D lần lượt là: \(C\left( {2;0;2} \right);\,\,D\left( {1;1;1} \right)\) Vậy: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\). Gọi H là chân đường cao từ C xuống AB, \(H\left( {t + 1;t;t + 1} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {CH} = \left( {t - 1;t;t - 1} \right)\) \(\overrightarrow {CH} \bot \overrightarrow {AB} \) Suy ra: \(3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Rightarrow S = CH.AB = \sqrt 3 .\sqrt {\frac{5}{3}} = \sqrt 5 .\)
