Câu 492: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((P):\,3x - 3y + 2z + 6 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. d cắt và không vuông góc với (P) B. d vuông góc với (P) C. d song song với (P) D. d nằm trong (P) Spoiler: Xem đáp án \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{u_d}} \left( {1; - 3; - 1} \right)\\ \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \left( {3; - 3;2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 3 + 9 - 2 \ne 0.\) Lấy điểm M thuộc d tọa độ có dạng: \(M\left( {t - 1; - 3t; - t + 5} \right)\) Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \(3\left( {t - 1} \right) - 3\left( { - 3t} \right) + 2\left( { - t + 5} \right) + 6 = 0\) \(\Leftrightarrow 10t + 13 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{{13}}{{10}}\) Vậy d cắt và không vuông góc với (P).
Câu 493: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm \(I(1;2;-1)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P):\,x - 2y - 2z - 8 = 0\,?\) A. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 3\) B. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 3\) C. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 3\) D. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính mặt cầu: \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = 3.\) Do đó phương trình mặt cầu là: \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 9.\)
Câu 494: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;0;0),\,\,B(0; - 2;0)\) và \(C(0;0;3)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (ABC)? A. \(\,\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{1} = 1.\) B. \(\,\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = 1.\) C. \(\,\frac{x}{1} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{3} = 1.\) D. \(\,\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1.\) Spoiler: Xem đáp án Công thức tổng quát của mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;c} \right)\) với a,b,c khác 0 là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\) Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{3} = 1.\)
Câu 495: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 + 3t\,\,\,\,(t \in\mathbb{R} )\\ z = 5 - t \end{array} \right.\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d? A. \(\,\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;3; - 1} \right).\) B. \(\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 1} \right).\) C. \(\,\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 3; - 1} \right).\) D. \(\,\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;2;5} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Vectơ chỉ phương của d là: \(\overrightarrow u = \left( {0;3; - 1} \right).\)
Câu 496: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(3; - 2;3),\,\,B( - 1;2;5)\). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB? A. I(-2;2;1) B. I(1;0;4) C. I(2;0;8) D. I(2;-2;-1) Spoiler: Xem đáp án Tọa độ điểm I có dạng: \(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( {1;0;4} \right).\)
Câu 497: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;3;-2) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4. A. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 9\) B. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) C. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) D. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử mặt cầu (S) cắt \(\Delta\) tại 2 điểm A, B sao cho AB=4 => (S) có bán kính R=IA. Gọi H là trung điểm đoạn AB, khi đó: \(IH \bot AB \Rightarrow \Delta IHA\) vuông tại H Ta có:\(HA = 2;IH = d\left( {I,\Delta } \right) = \sqrt 5\) \(R = I{A^2} = I{H^2} + H{A^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + {2^2} = 9\) Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\)
Câu 498: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình $d:\frac{{x+3}}{2} = \frac{{y+1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}},\left( P \right):x - 3y 2z 6 = 0$. Viết phương trình hình chiếu \(\Delta\) của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 31t\\ y = 1 + 5t\\ z = - 2 - 8t \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 31t\\ y = 1 + 5t\\ z = - 2 - 8t \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 31t\\ y = 3 + 5t\\ z = - 2 - 8t \end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 31t\\ y = 1 + 5t\\ z = 2 - 8t \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = - t \end{array} \right.\) Giao điểm (nếu có) của (P) và d là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = - t\\ x - 3y + 2z + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1\\ z = - 2 \end{array} \right.\) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P) (Q) có vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _Q} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_P}} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 7} \right).\) Đường thẳng \(\Delta\) là hình chiếu vuông góc của d lên (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra vectơ chỉ phương của \(\Delta\): \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&2\\ { - 5}&{ - 7} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { - 7}&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}\\ { - 1}&{ - 5} \end{array}} \right|} \right) = \left( {31;5; - 8} \right)\) PTTS của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 31t\\ y = 1 + 5t\\ z = - 2 - 8t \end{array} \right.\left( {t \in\mathbb{R} } \right)\)
Câu 499: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Tìm tọa độ điểm K hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta .\) A. \(K\left( {\frac{{17}}{{12}}; - \frac{{13}}{{12}};\frac{2}{3}} \right)\) B. \(K\left( {\frac{{17}}{9}; - \frac{{13}}{9};\frac{8}{9}} \right)\) C. \(K\left( {\frac{{17}}{6}; - \frac{{13}}{6};\frac{8}{6}} \right)\) D. \(K\left( {\frac{{17}}{3}; - \frac{{13}}{3};\frac{8}{3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\). Xét điểm \(K\left( {1 + 2t; - 1 - t;2t} \right)\) ta có \(\overrightarrow {MK} = \left( {2t - 1; - t;2t - 1} \right)\). VTCP của \(\Delta\): \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right)\). K là hình chiếu của M trên đường thẳng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MK} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{9}\). Vậy \(K\left( {\frac{{17}}{9}; - \frac{{13}}{9};\frac{8}{9}} \right).\)
Câu 500: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{2},{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 18 = 0\). Cho biết d cắt (S) tại hai điểm M, N. Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. \(MN = \frac{{\sqrt {30} }}{3}\) B. \(MN = 8\) C. \(MN =\frac{16}{3}\) D. \(MN = \frac{20}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của d: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 - t\\ y = 2t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right.\) Thay vào phương trình mặt cầu (S) tìm được: \(t = - 2,\,t = \frac{2}{9}.\) Suy ra giao điểm của d và (S) là: \(M\left( { - 1; - 4; - 5} \right),N\left( { - \frac{{29}}{9};\frac{4}{9}; - \frac{5}{9}} \right) \Rightarrow MN = \frac{{20}}{3}.\)
Câu 501: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm A(1;-2;3) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\) A. \(d = \sqrt {\frac{{1361}}{{27}}}\) B. \(d = 7\) C. \(d =\frac{13}{2}\) D. \(d = \sqrt {\frac{{1358}}{{27}}}\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {5;1;1} \right)\). Gọi điểm \(M\left( {10;2; - 2} \right) \in \Delta\). Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {9;4; - 5} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {9; - 34; - 11} \right).\) \({d_{\left( {A,\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {\frac{{1358}}{{27}}} .\)
