Câu 502: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình lần lượt là \(\left( {{d_1}} \right):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{1 - y}}{m} = \frac{{2 - z}}{3}\); \(\left( {{d_2}} \right):\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\). Tìm tất cả giá trị thực của m để \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\). A. m=5 B. m=1 C. m=-5 D. m=-1 Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) lần lượt có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - m; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;1} \right),\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)
Câu 503: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + 4z = 2017\). Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? A. \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 3;4} \right)\) B. \(\overrightarrow n = \left( { - 2; 3;4} \right)\) C. \(\overrightarrow n = \left( { - 2; 3;-4} \right)\) D. \(\overrightarrow n = \left( { 2; 3;-4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + 4z = 2017\) nên có VTPT là: \(\overrightarrow n = k\left( {2; - 3;4} \right),k \ne 0.\) Với \(k = - 1 \Rightarrow \overrightarrow n = \left( { - 2;3; - 4} \right).\)
Câu 504: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Đường vuông góc chung của \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) đi qua điểm nào trong các điểm sau ? A. M(3;1;-4) B. N(1;-1;-4) C. P(2;0;1) D. Q(0;-2;-5) Spoiler: Xem đáp án \(\Delta _1\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_1}} = (2;1;1)\) \(\Delta _2\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_2}} = (-4;1;-1)\) Gọi \(\Delta\) là đường vuông góc chung. Giao điểm của \(\Delta\) với \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) lần lượt là A,B Suy ra: Tọa độ của A(2a-1;a-2;a+1) ; B(-4b-2;b+1;-b-2) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2a + 4b + 1;a - b - 3;a + b + 3} \right)\) Đường thẳng vuông góc chung sẽ đi qua AB suy ra AB vuông góc với và Nên:\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \end{array} \right.\) Giải phương trình ta được a=1; b=-1 Suy ra: A(1;-1;2); B(2;0;-1) Nên Phương trình đường vuông góc chung là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - 1 + t\\ z = 2 - 3t \end{array} \right.\) Thay các đáp án vào phương trình ta thấy A là phương án đúng.
Câu 505: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 3}}{1}\) , điểm\(A\left( {3;2;1} \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d. A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 3t\\ y = 2 - 5t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t\\ y = 1 - 5t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 9t\\ y = 1 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 9t\\ y = 2 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có đường thẳng d đi qua M(0;0;3), VTCP \(\overrightarrow a = \left( {2;4;1} \right)\) Gọi \(\left ( \alpha \right )\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. \(\left( \alpha \right) \bot \left( d \right)\) nên \(\left ( \alpha \right )\) nhận \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {2;4;1} \right)\) làm VTPT. Phương trình \(\left( \alpha \right):2\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0\)\(\Leftrightarrow 2x + 4y + z - 15 = 0\) Phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 4t\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\) Thế vào phương trình \(\left( \alpha \right):2\left( {2t} \right) + 4\left( {4t} \right) + \left( { - 3 + t} \right) - 15 = 0 \Rightarrow t = \frac{6}{7}\) Vậy \(d \cap \left( \alpha \right)\) tại \(B\left( {\frac{{12}}{7};\frac{{24}}{7};\frac{{ - 15}}{7}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - \frac{9}{7};\frac{{10}}{7}; - \frac{{22}}{7}} \right).\) Vậy phương trình đường thẳng qua A, cắt vuông góc d là: \(AB:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 9t\\ y = 2 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\)
Câu 506: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\) và mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M có các tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2. A. M(-2;-3;-1) B. M(-1;-3;-5) C. M(-2;-5;-8) D. M(-1;-5;-7) Spoiler: Xem đáp án \(M \in d \Rightarrow M(m;2m - 1;3m - 2)\) Theo yêu cầu đề bài thì \(\left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ 2m - 3 < 0\\ 3m - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\) \(\begin{array}{l} d(M,(P)) = \frac{{\left| {m + 2(2m - 1) - 2(3m - 2) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {5 - m} \right| = 6 \Rightarrow m = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1; - 3; - 5} \right). \end{array}\)
Câu 507: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):11x + my + nz - 16 = 0\). Biết \(\Delta \subset \left( P \right),\) tìm m và n. A. m=6; n=-4 B. m=-4; n=6 C. m=10; n=4 D. m=4; n=10 Spoiler: Xem đáp án \(\Delta \subset \left( P \right)\) thì mọi điểm thuộc đường thẳng \(\Delta\) cũng thuộc mặt phẳng (P). Nên chọn 2 điểm thuộc đường thẳng là M(-2;3;2) và N(0;2;-1) thay vào (P) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 22 + 3m + 2n - 16 = 0\\ 2m - n - 16 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 10\\ n = 4 \end{array} \right..\)
Câu 508: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;3), B(1;3;3), C(1;2;4). Chọn phát biểu đúng? A. Tam giác ABC là tam giác đều B. Tam giác ABC là tam giác vuông C. Các điểm A, B, C thẳng hàng D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} A(2;2;3),B(1;3;3),C(1;2;4) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0)}\\ {\overrightarrow {AC} = ( - 1;0;1)}\\ {\overrightarrow {BC} = (0; - 1;1)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow AB = BC = AC \end{array}\) Nên ABC là tam giác đều.
Câu 509: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z - 3 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua O song song với d và vuông góc với mặt phẳng (P). A. \(x + 2y + z = 0\) B. \(x -2y + z = 0\) C. \(x + 2y + z - 4 = 0\) D. \(x - 2y + z + 4 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có VTPT là: \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right).\) Đường thẳng có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 3} \right).\) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow n ;\overrightarrow v } \right] = \left( {1;2;1} \right).\) Mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) song song với d và vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow n ;\overrightarrow v } \right] = \left( {1;2;1} \right)\) làm VTPT. Mặt khác \(\left ( \alpha \right )\) đi qua O nên có phương trình là: \(x + 2y + z = 0.\)
Câu 510: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { - 1;2;3} \right),N\left( {0;2; - 1} \right)\). Tính diện tích S của tam giác OMN (O là gốc tọa độ). A. \(S = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\) B. \(S =2\) C. \(S = \frac{{\sqrt {69} }}{2}\) D. \(S =3\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \overrightarrow {OM} = ( - 1;2;3)\\ \overrightarrow {ON} = (0;2; - 1)\\ \left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right] = ( - 8; - 1; - 2) \end{array}\) Vậy diện tích tam giác OMN là:\({S_{OMN}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt {69} }}{2}.\)
Câu 511: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm bán kính của mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1; - 2;0} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;0;3} \right).\) A. \(R = \sqrt {17}\) B. \(R = 17\) C. \(R = 13\) D. \(R = \sqrt {13}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {17} .\)
