Câu 512: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \((P):x + y + z - 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 3;0} \right),B\left( {5; - 1; - 2} \right)\). Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. A. M(3;2;-4) B. M(0;0;1) C. M(-2;-3;6) D. M(2;-1;1) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left( {{x_A} + {y_A} + {z_A} - 1} \right)\left( {{x_B} + {y_B} + {z_B} - 1} \right) < 0\) Suy ra: A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P). Gọi \(B'\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng với B(5;-1;-2) Suy ra B'(-1;-3;4) Lại có \(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA - MB'} \right| \le AB' = const\) Vậy \(\left| {MA - MB} \right|\) đạt giá trị lớn nhất khi M,A,B' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng (P) AB' có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - 3\\ z = - 2t \end{array} \right.\) Tọa độ M(x,y,z) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - 3\\ z = - 2t\\ x + y + z - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 3\\ x = - 2\\ y = - 3\\ z = 6 \end{array} \right.\) Vậy điểm M(-2;3;6)
Câu 513: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):2x - 2y - z - 4 = 0\) và mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm của đường tròn đó. A. H(3;0;2) B. H(3;1;2) C. H(5;0;2) D. H(3;7;2) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=5 Khoảng cách từ điểm I tới mp (P) là \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\) Vì \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R \Rightarrow\) mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Bán kính của đường tròn là \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = 4\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I trên (P), suy ra đường thẳng IH đi qua I và vuông góc với mp (P). Suy ra phương trình đường thẳng IH: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 - 2t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\) Khi đó H là giao của mp(P) với IH: \(\Rightarrow H\left( {3;0;2} \right)\)
Câu 514: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = - 1 + 2t\\ z = 1 \end{array} \right.\) và điểm \(A\left( { - 1;2;3} \right).\) Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. A. \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 3} \right)\) B. \(\overrightarrow n = \left( {2;1; 2} \right)\) C. \(\overrightarrow n = \left( {2;-1; - 2} \right)\) D. \(\overrightarrow n = \left( {4;-2;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án (d) đi qua điểm M(0;-1;1) và có VTCT \(\overrightarrow u = \left( {1;2;0} \right)\) . Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\) là VTPT của (P). PT mặt phẳng \((P):a\left( {x - 0} \right) + b\left( {y + 1} \right) + c\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + cz + b - c = 0\) (1). Do (P) chứa (d) nên: \(\overrightarrow u .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow a + 2b = 0 \Leftrightarrow a = - 2b\)(2) \(\begin{array}{l} d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - a + 3b + 2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {5b + 2c} \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + {c^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {5b + 2c} \right| = 3\sqrt {5{b^2} + {c^2}} \\ \Leftrightarrow 4{b^2} - 4bc + {c^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {2b - c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow c = 2b\left( 3 \right) \end{array}\) Từ (2) và (3), chọn \(b = - 1 \Rightarrow a = 2,c = - 2 \Rightarrow\)PT mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 1.\)
Câu 515: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 2)^2} = 16.\) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow v = \left( {1;6;2} \right)\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 4y + z - 11 = 0\) và tiếp xúc với (S). A. \((P):4x - 3y - z + 5 = 0\) hoặc \((P):4x - 3y - z - 27 = 0\) B. \((P):x - 2y + z + 3 = 0\) hoặc \((P):x - 2y + z - 21 = 0\) C. \(\left( P \right):3x + y + 4z + 1 = 0\) hoặc \(\left( P \right):3x + y + 4z - 2 = 0\) D. \(\left( P \right):2x - y + 2z + 3 = 0\) hoặc \(\left( P \right):2x - y + 2z - 21 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án (S) có tâm \(I\left( {1; - 3;2} \right)\) và bán kính R=4, VTPT của \(\left ( \alpha \right )\) là \(\overrightarrow n = \left( {1;4;1} \right).\) Suy ra VTPT của (P) là: \(\overrightarrow {{n_p}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow v } \right] = \left( {2; - 1;2} \right) \Rightarrow\) PT của (P) có dạng: \(2x - y + 2z + m = 0\) Vì (P) tiếp xúc với (S) nên: \(d\left( {I,(P)} \right) = R\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\left| {2.1 + 3 + 2.2 + m} \right|}}{3} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 9 = 12\\ m + 9 = - 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = - 21 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy \(\left( P \right):2x - y + 2z + 3 = 0\) hoặc \(\left( P \right):2x - y + 2z - 21 = 0.\)
Câu 516: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2; - 1;0} \right),B\left( {3; - 3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z - 3 = 0\) . Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). A. M(7;1;-2) B. M(-3;0;6) C. M(2;1;-7) D. M(1;1;1) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng AB có pt: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{{ - 1}}\) Gọi M là giao điểm của AB và (P). Do M thuộc AB nên \(M\left( {2 + t; - 1 - 2t; - t} \right)\). M thuộc (P) nên \(2 + t - 1 - 2t - t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\). Do đó M(1;1;1)
Câu 517: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(M\left( {1;0;0} \right),N\left( {0;2;0} \right),P\left( {0;0;3} \right).\) Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (MNP). A. \(d = \frac{3}{7}\) B. \(d = \frac{6}{7}\) C. \(d = \frac{5}{7}\) D. \(d = \frac{9}{7}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} M\left( {1;0;0} \right),N\left( {0;2;0} \right),P\left( {0;0;3} \right)\\ \Rightarrow \left( {MNP} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0\\ \Rightarrow d\left( {O,MNP} \right) = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }} = \frac{6}{7} \end{array}\)
Câu 518: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\begin{cases} & x=-3t \\ & y=1+2t\\ & z=-2t \end{cases} $ và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 3 + 4t\\ z = 5 - 5t \end{array} \right..\). Tìm $\alpha$ là số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$. A. \(\alpha = {30^0}\) B. \(\alpha = {45^0}\) C. \(\alpha = {60^0}\) D. \(\alpha = {90^0}\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(d_1\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 3;2;1)\) Đường thẳng \(d_2\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_2}} = (1;4; - 5)\) Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\) Suy ra \(d_1\) và \(d_1\)vuông góc nhau nên \(\alpha = {90^0}.\)
Câu 519: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 8z + 1 = 0\). Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). A. Bán kính của mặt cầu R=5, tâm I(1;-3;4) B. Bán kính của mặt cầu R=5, tâm I(-1;3;-4) C. Bán kính của mặt cầu \(R = \sqrt {26} ,\) tâm I(1;-3;4) D.Bán kính của mặt cầu \(R = \sqrt {26} ,\) tâm I(-1;3;-4) Spoiler: Xem đáp án Tâm của mặt cầu (S) là: \(I\left( {1; - 3;4} \right)\), bán kính R=5.
Câu 520: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0;-1;2) và N(-1;1;3). Mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K(0;0;2) đến (P) đạt giá trị lớn nhất. Tìm Vectơ pháp tuyến của (P). A. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right)\) B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 1;1;1} \right)\) D. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {0;1;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của K lên MN và (P). Ta có: \(d(K,(P)) = KH \le KH'\) không đổi. Vậy \(d(K,(P))\) lớn nhất khi và chỉ khi H’ trùng với H hay (P) vuông góc với KH. Ta có: \(\overrightarrow {MK} = \left( {0;1;0} \right);\,\overrightarrow {NK} = \left( {1; - 1; - 1} \right);\,\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;2;1} \right)\) Mặt phẳng (MNK) có VTPT là:\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MK} ;\overrightarrow {NK} } \right] = \left( { - 1;0; - 1} \right)$\) Do \(\left\{ \begin{array}{l} HK \subset \left( {MNK} \right)\\ HK \bot MN \end{array} \right.\) nên HK có VTCP là: \(\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow n } \right] = \left( {2;2; - 2} \right)\) cũng chính là VTPT của (P).
Câu 521: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng\(\left( \beta \right):x + 2y - 2z - 4 = 0\); \(\left( \alpha \right):2x - 2y - z + 1 = 0\) và mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0.\)Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=8. A. m=-9 B. m=-12 C. m=5 D. m=2 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = (2; - 2; - 1);\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2; - 2} \right)\) lần lượt là VTCP của \(\left ( \alpha \right )\) và \(\left ( \beta \right )\). Suy ra VTCP của đường thẳng d là: \(\overrightarrow u = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;1;2} \right)\) Ta có A(6;4;5) là điểm chung của hai mặt phẳng nên thuộc d. Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0) bán kính \(R = \sqrt {13 - m}\) với m<13. \(\overrightarrow {IA} = \left( {8;1;5} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right) \Rightarrow d(I,d) = 3\) Gọi H là trung điểm của AB \(\Rightarrow AH = \frac{{AB}}{2} = 4\) và IH=3 Trong tam giác vuông IAH ta có: \(I{A^2} = I{H^2} + A{H^2} \Leftrightarrow {R^2} = 9 + 16\) \(\Rightarrow 13 - m = 25 \Leftrightarrow m = - 12\)
