Câu 522: Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho hình bình hành OADB có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {OB} = \left( {1;1;0} \right)\) (O là gốc tọa độ). Tìm tọa độ tâm I hình bình hành OADB. A. \(I(0;1;0)\) B. \(I(1;0;0)\) C. \(I(1;0;1)\) D. \(I(1;1;0)\) Spoiler: Xem đáp án Hình bình hành có tâm là trung điểm của 2 đường chéo nên nó là trung điểm của AB. \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;1;0} \right) \Rightarrow A( - 1;1;0)\) \(\overrightarrow {OB} = \left( {1;1;0} \right) \Rightarrow B(1;1;0)\) Vậy tọa độ I(0;1;0)
Câu 523: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x+1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z+2}}{3}$ và ${d_2}:\frac{{x - 5}}{{ - 2}} = \frac{{y+4}}{1} = \frac{{z - 6}}{{ - 1}}$. Tính khoảng cách d từ giao điểm của hai đường thẳng \(d_1;d_2\) đến mặt phẳng $(P):y - 3x+z +1 = 0$ A. \(d = \frac{{12}}{{\sqrt {11} }}\) B. \(d =0\) C. \(d = \sqrt {11}\) D. \(d = \frac{{3}}{{\sqrt {11} }}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình thàm số của \({d_1};\,{d_2}\) là: \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = t - 1\\ y = - t\\ z = 3t - 2 \end{array} \right.;\,\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 2t' + 5\\ y = t' - 4\\ z = - t' + 6 \end{array} \right.\) Ta lập hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} t - 1 = - 2t' + 5\\ - t = t' - 4\\ 3t - 2 = - t' + 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = 2\\ t' = 2 \end{array} \right.\) Vậy giao điểm của \({d_1};\,{d_2}\) là I(1;-2;4) .\(\Rightarrow I \in \left( P \right) \Rightarrow d\left( {I,(P)} \right) = 0\)
Câu 524: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{x^2}+{y^2}+{z^2} - 4x+6z = 0$. Xác định tâm I và bán kính mặt cầu (S). A. \(I\left( { - 2;0;3} \right);{\rm{ }}R = \sqrt {13}\) B. \(I\left( { - 2;0;3} \right);{\rm{ }}R = \sqrt {5}\) C. \(I\left( { 2;0;-3} \right);{\rm{ }}R = \sqrt {13}\) D. \(I\left( { 2;0;-3} \right);{\rm{ }}R = \sqrt {5}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6z = 0\\ \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 13\\ \Rightarrow I(2;0; - 3);\,R = \sqrt {13} . \end{array}\)
Câu 525: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):x - y + 2z + 1 = 0\) và điểm \(A(2; - 1;0)\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). A. \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) B. \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) C. \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\) D. \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có VTPT: \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\) Đường thẳng d đi qua A(2;-1;0) và nhận \(\overrightarrow u = \overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm VTCP nên có phương trình: \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)
Câu 526: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 3; - 1} \right);\,\overrightarrow {{u_2}} = (3; - 5;1).\) Tính \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|.\) A. \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left( { - 8; - 5; - 1} \right)\) B. \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left( { 8; 5; 1} \right)\) C. \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = 20\) D. \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = 3\sqrt{10}\) Spoiler: Xem đáp án \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 8; - 5; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \sqrt {90} = 3\sqrt {10}\)
Câu 527: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:x - 1 = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{3 - z}}{3}\). Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là vectơ nào trong các vectơ sau đây? A. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;3} \right)\) B. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {-1;2;3} \right)\) C. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {-1;-2;-3} \right)\) D. \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;-2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} d:x - 1 = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{3 - z}}{3}\\ Hay\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{3 - z}}{3} \end{array}\) Nên có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow u = k\left( {1;2;3} \right)\) với k=-1 thì \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2; - 3} \right)\).
Câu 528: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 49\) và mặt phẳng \((P):2x - 3y + 6z - 72 = 0\). Tìm \(M \in \left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất. A. \(M(3;5;9)\) B. \(M( - 3; - 5;9)\) C. \(M( - 3;5; - 9)\) D. \(M(3; - 5;9)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu. Ta có: \(I( - 1;2; - 3)\), \(d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {2.( - 1) - 3.2 + 6.3 - 72} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \frac{{62}}{7} > R = 7\). Vậy (P) và (S) không giao nhau. Vậy: để khoảng cách từ \(M \in \left( S \right)\) đến (P) là lớn nhất thì M phải ở trên đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\) Đường thẳng d đi qua I nhận \(\overrightarrow u = \overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 2 - 3t\\ z = - 3 + 6t \end{array} \right.\) Tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng d là nghiệm của hệ phương trình: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 2 - 3t\\ z = - 3 + 6t\\ {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 49 \end{array} \right.\\ \Rightarrow t = \pm 1 \end{array}\) Với t=1 ta có \(M(1; - 1;3) \Rightarrow {d_1} = d(M,(P)) = 1\) Với t=-1 ta có \(M( - 3;5; - 9) \Rightarrow {d_2} = d(M,(P)) = 3\) Theo đề bài ta chọn M(-3;5;-9)
Câu 529: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) đi qua điểm A(1;-1;4) và giao tuyến của hai mặt phẳng \((P):3x - y - z = 0\); \((Q):x + 2y + z - 4 = 0\). A. \(4x + y - 3 = 0\) B. \(x + 4y + 2z - 5 = 0\) C. \(3x - y - z = 0\) D. \(3x + y - 2z + 6 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng \((P):3x - y - z = 0\); \((Q):x + 2y + z - 4 = 0\) nên phương trình có dạng: \(m\left( {3x - y - z = 0} \right) + n\left( {x + 2y + z - 4} \right) = 0\) với \({m^2} + {n^2} > 0\). Mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) đi qua A(1;-1;4) nên: \(m\left( {3 + 1 - 4 + 1} \right) + n\left( {1 - 2 + 4 - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow m - n = 0\) Chọn \(m = 1 \Rightarrow n = 1\) Ta có phương trình mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) là: \(\left( {3x - y - z = 0} \right) + \left( {x + 2y + z - 4} \right) = 0\) Hay: \(4x + y - 3 = 0\)
Câu 530: Tính thể tích V của tứ diện OABC với A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(2x - 3y + 5z - 30 = 0\) với trục Ox, Oy, Oz. A. V=78 B. V=120 C. V=91 D. V=150 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(A \in Ox;B \in Oy;C \in Oz\) do đó \(A\left( {x;0;0} \right);B\left( {0;y;0} \right);C\left( {0;0;z} \right)\). Khi đó lần lượt thay tọa độ các điểm trên vào phương trình mặt phẳng \(2x - 3y + 5z - 30 = 0\) thì ta lần lượt được \(A\left( {15;0;0} \right);B\left( {0; - 10;0} \right);C\left( {0;0;6} \right)\). Tứ diện OABC có các cạnh bên OA;OB;OC đôi một vuông góc. Do đó: \({V_{OABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.OA.OB.OC\) \(= \frac{1}{6}.15.10.6 = 150\).
Câu 531: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{{ - 5}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0\). A. \(M\left( {1;2;3} \right)\) B. \(M\left( {1;-2;3} \right)\) C. \(M\left( {-1;2;3} \right)\) D. A, B, C đều sai Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 3t\\ y = 2 - t\\ z = - 1 - 5t \end{array} \right.\) M thuộc d nên \(M(3t - 3;2 - t; - 1 - 5t)\) Mặt khác M thuộc mặt phẳng (P) nên: \(\begin{array}{l} 3t - 3 - 2\left( {2 - t} \right) - 1 - 5t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 0t - 9 = 0 \end{array}\) Vô nghiệm. Vậy (P) và d không có điểm chung.
