Câu 532: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;4; - 7} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(6x + 6y - 7z + 42 = 0\). A. \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \frac{3}{4}\) B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 121\) D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng đã cho nên có bán kính: \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {6.1 + 6.4 - 7.\left( { - 7} \right) + 42} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {6^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} = 11\) Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 121\)
Câu 533: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ với \(P\left( {4; - 7; - 4} \right)\) và \(Q\left( { - 2;3;6} \right)\). A. \(3x - 5y - 5z - 18 = 0\) B. \(6x - 10y - 10z - 7 = 0\) C. \(3x + 5y + 5z - 7 = 0\) D. \(3x - 5y - 5z - 8 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Trung điểm của PQ là \(M\left( {1; - 2;1} \right)\); \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 6;10;10} \right)\). Mặt phẳng trung trực của PQ đi qua \(M\left( {1; - 2;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {PQ} = \left( { - 3;5;5} \right)\) làm VTPT nên có phương trình: \(- 3\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 2} \right) + 5\left( {z - 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow - 3x + 5y + 5z + 8 = 0\) Hay: \(3x - 5y - 5z - 8 = 0\)
Câu 534: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định m để đường thẳng \(d:\frac{{x - 13}}{8} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):mx + 2y - 4z + 1 = 0\). A. \(m \ne 0\) B. \(m \ne 1\) C. \(m = 0\) D. \(m = 1\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d có VTCP: \(\overrightarrow u = (8;2;3)\) Mặt phẳng (P) có VTPT là: \(\overrightarrow n = (m;2; - 4)\) d cắt (P) khi \(\overrightarrow u\) không vuông góc với \(\overrightarrow n\) Điều này xảy ra khi: \(\overrightarrow u .\overrightarrow n \ne 0 \Leftrightarrow 8m + 2.2 - 3.4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)
Câu 535: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ: \(\overrightarrow a = (2; - 5;3);\,\overrightarrow b = \left( {0;2; - 1} \right);\,\overrightarrow c = \left( {1;7;2} \right)\) . Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - 4\overrightarrow b - 2\overrightarrow c\). A. \(\overrightarrow d = \left( {0; - 27;3} \right)\) B. \(\overrightarrow d = \left( {1;2; - 7} \right)\) C. \(\overrightarrow d = \left( {0;27;3} \right)\) D. \(\overrightarrow d = \left( {0;27; - 3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - 4\overrightarrow b - 2\overrightarrow c\)\(=(2; - 5;3) - 4\left( {0;2; - 1} \right) - 2\left( {1;7;2} \right) = \left( {0; - 27;3} \right)\)
Câu 536: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Oz, hai mặt phẳng (Oxy) và \(\left( \alpha \right):z = 2\) cắt (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2 và bằng 4. A. \({x^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = 16\) B. \({x^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = 16\) C. \({x^2} + {y^2} - {(z - 4)^2} = 16\) D. \({x^2} + {y^2} + {(z + 16)^2} = 16\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: I thuộc trục Oz, suy ra I(0;0;m). Từ đề bài ta suy ra được: mặt phẳng (Oxy) và mặt phẳng \((\alpha)\) cắt (S) lần lượt theo hai đường tròn tâm \({O_1}(0;0;0)\), bán kính \({r_1} = 2\) và tâm \({O_2}\left( {0;0;2} \right)\), bán kính \({r_2} = 4\). Gọi R là bán kính mặt cầu thì: \(\left\{ \begin{array}{l} {R^2} = {2^2} + {\left| m \right|^2}\\ {R^2} = {4^2} + {\left| {m - 2} \right|^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow 4 + {m^2} = 16 + {(m - 2)^2} \Leftrightarrow m = 4\) Suy ra: \(R = 2\sqrt 5 ;\,\,I(0;0;4)\) Vậy phương trình mặt cầu (S) là: \({x^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = 16\)
Câu 537: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2z - {m^2} = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x + 6y - 2z - 2 = 0\). Với giá trị nào của m thì \(\left( \alpha \right)\) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng \(2\pi\)? A. \(m = \pm \frac{{\sqrt {35} }}{7}\) B. \(m = \pm \frac{{\sqrt {55} }}{7}\) C. \(m = \pm \frac{{\sqrt {65} }}{7}\) D. \(m = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm I(0;0;1), bán kính \(R = \sqrt {1 + {m^2}}\). Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của \(\left ( \alpha \right )\) và \((S)\) có bán kính r. Diện tích hình tròn (C) là: \(2\pi \Rightarrow r = \sqrt 2\) Ta có: \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 1} = \frac{4}{7} \Leftrightarrow m = \pm \frac{{\sqrt {65} }}{7}\)
Câu 538: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng (P): \(2{\rm{x}} + y - 2{\rm{z}} + 2 = 0\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1). A. \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 1\) B. \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1\) C. \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 4\) D. \({\left( {x - \frac{{268}}{{37}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{40}}{{37}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{24}}{{37}}} \right)^2} = \frac{{5929}}{{1369}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là tâm của (S). I thuộc d suy ra \(I(1 + 3t; - 1 + t;t)\) Bán kính R = IA = \(\sqrt {11{t^2} - 2t + 1}\). Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: \(d(I,(P)) = \frac{{\left| {5t + 3} \right|}}{3} = R\) \(\Leftrightarrow 37{t^2} - 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0 \Rightarrow R = 1\\ t = \frac{{24}}{{37}} \Rightarrow R = \frac{{77}}{{37}} \end{array} \right.\) Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0). Vậy phương trình mặt cầu (S): \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1\).
Câu 539: Cho mặt cầu (S):\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 3y - 3z = 0\) và mặt phẳng (P): \(x + 2y + 2z - 6 = 0\). Tìm tọa độ tâm H của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P). A. \(H\left( {\frac{8}{3};\frac{5}{6};\frac{5}{6}} \right)\) B. \(H\left( {6;0;0} \right)\) C. \(H\left( {0;1;2} \right)\) D. \(H\left( {\frac{1}{2};\frac{6}{3};\frac{3}{4}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S):\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 3y - 3z = 0\) có tâm \(I\left( {3;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P), suy ra H là tâm của (C). Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Nên d có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t\\ y = \frac{3}{2} + 2t\\ z = \frac{3}{2} + 2t \end{array} \right.\). Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t\\ y = \frac{3}{2} + 2t\\ z = \frac{3}{2} + 2t\\ x + 2y + 2z - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{8}{3}\\ y = \frac{5}{6}\\ z = \frac{5}{6} \end{array} \right.\) Vậy \(H\left( {\frac{8}{3};\frac{5}{6};\frac{5}{6}} \right)\).
Câu 540: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0. A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z = 0\) B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y + 4z + 2 = 0\) C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 6 = 0\) D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 3 = 0\) Spoiler: Xem đáp án PT mặt cầu (S) có dạng: $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$ với $a^2+b^2+c^2-d>0$ (S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0 (S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0 (S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0 Tâm I thuộc (P): a + b – 2c + 4 = 0 Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3. Vậy phương trình mặt cầu (S) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 3 = 0\).
Câu 541: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2my - 4mz + 3 = 0\) và mặt phẳng \((\alpha ):x + 2y - 4z + 3 = 0\). Với giá trị nào của m thì \(\left ( \alpha \right )\) tiếp xúc với (S)? A. \(m = - 2 \vee m = \frac{4}{5}\) B. \(m = 2\) C. \(m =3\) D. \(m = 2 \vee m = 3\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu tâm \(I(m; - m;2m)\), bán kính \(r = \sqrt {6{m^2} - 3} \,\,(6{m^2} - 3 > 0\,(*))\) \(\left ( \alpha \right )\) tiếp xúc với (S) khi: \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = r \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 2m - 8m + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \sqrt {6{m^2} - 3}\) \(\Leftrightarrow \frac{{\left| {3 - 9m} \right|}}{{\sqrt {21} }} = \sqrt {6{m^2} - 3} \Rightarrow 5{m^2} + 6m - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 2\\ m = \frac{4}{5} \end{array} \right.\) (Thỏa (*))
