Câu 542: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm bán kính R của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng \(2x - 2y - z + 9 = 0\) và mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z - 86 = 0\). A. R=9 B. R=4 C. R=2 D. R=8 Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu có tâm O(3;-2;1), bán kính R=10. Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng là: \(d = \frac{{\left| {2.3 - 2.( - 2) - 1 + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 6\). Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = 8\).
Câu 543: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, với giá trị nào của m thì phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2(m - 1)y + 4z + 5m = 0\) là phương trình mặt cầu? A. \(1 \le m \le \frac{5}{2}\) B. \(m < 1 \vee m > \frac{5}{2}\) C. \(m \ge 3\) D. Một số đáp án khác Spoiler: Xem đáp án Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi: \(\begin{array}{l} ( - {m^2}) + {(m - 1)^2} + {2^2} - 5 m> 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 7m + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < 1\\ m > \frac{5}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Câu 544: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 6z + 14 = 0\) và mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y + z) - 22 = 0\). Tính khoảng cách d từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P). A. d=1 B. d=2 C. d=3 D. d=4 Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) Vậy khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là: \(d(I,(P)) = \frac{{\left| {3.1 - 2.1 + 6.1 + 14} \right|}}{{\sqrt {{3^2}} }} = \frac{{21}}{7} = 3\)
Câu 545: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = - 1\\ z = - t \end{array} \right.,t \in \mathbb{R}$ và 2 mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z+3 = 0$ và $\left( \beta \right):x+2y+ 2z+7 = 0$. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left ( \alpha \right )$ và $\left ( \beta \right )$. A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{4}{9}\) B. \({x^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = \frac{4}{9}\) C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 3)^2} = \frac{4}{9}\) D. \({x^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = \frac{4}{9}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm \(I \in d \Rightarrow I(t; - 1; - t)\) Mặt cầu (S) tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) nên: \(\begin{array}{l} d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {I,\left( \beta \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - t} \right|}}{3} = \frac{{\left| {5 - t} \right|}}{3} \Leftrightarrow t = 3\\ \Rightarrow R = \frac{2}{3},\,\,\,I(3; - 1;3) \end{array}\) Vậy phương trình mặt cầu (S) là: \((S):{\left( {x - 3} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 3)^2} = \frac{4}{9}\)
Câu 546: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(2;0;0),\,B(0;2;0),\,C(0;0;2),\,D(2;2;2)\). Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. A. \(R = 3\) B. \(R = \sqrt 3\) C. \(R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) D. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)(*) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Thay \(A(2;0;0),\,B(0;2;0),\,C(0;0;2),\,D(2;2;2)\) vào (*) ta được: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 4b + d = - 4\\ - 4c + d = - 4\\ - 4a - 4b - 4c + d = - 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = - 1\\ c = - 1\\ d = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z = 0 \end{array}\) Vậy: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt 3\)
Câu 547: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = - \frac{z}{2}\) và hai điểm \(A(2;1;0)\),\(B( - 2;3;2)\) . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng d. A. \({(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 5\) B. \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 17\) C. \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 17\) D. \({(x + 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 5\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = t\\ z = - 2t \end{array} \right.\) Ta có: \(I \in d \Rightarrow I(1 + 2t;t; - 2t) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AI} = ( - 1 + 2t;t - 1; - 2t)\\ \overrightarrow {BI} = \left( {3 + 2t;t - 3; - 2 - 2t} \right) \end{array} \right.\) Vì mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B nên: \(R = IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {( - 1 + 2t)^2} + {(t - 1)^2} + {( - 2t)^2} = {(3 + 2t)^2} + {(t - 3)^2} + {( - 2 - 2t)^2}\\ \Leftrightarrow 20t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow I( - 1; - 1;2) \Rightarrow R = IA = \sqrt {17} \end{array}\) Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 17\).
Câu 548: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 - 2t\\ z = 0 \end{array} \right.\). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn AB. A. \(AB = 2\sqrt 3\) B. \(AB = \sqrt 5\) C. \(AB = \sqrt 3\) D. \(AB = 2\sqrt 5\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm A, B có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 - 2t\\ z = 0\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 0\\ z = 0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 4\\ z = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow A(2;0;0);\,B(0;4;0)\\ \Rightarrow AB = 2\sqrt 5 \end{array}\)
Câu 549: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 8z - 4 = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) không giao nhau. B. Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc nhau. C. Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. D. Tâm mặt cầu (S) thuộc mặt phẳng (P). Spoiler: Xem đáp án \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 25\) có tâm I(1;-2;4) và R = 5. Ta có: \(I \notin \left( P \right)\) Khoảng cách từ I đến (P) là: \(d\left( {I,(\alpha )} \right) = 3 < R\), suy ra (P) và mặt cầu (S) cắt nhau.
Câu 550: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {4;2; - 1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 1 + 2t \end{array} \right.\). A. \({(x + 4)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 16\) B. \({(x - 4)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 16\) C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 4y + 2z + 5 = 0\) D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x + 4y + 2z + 5 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có bán kính R. Ta có d đi qua A(2;-1;1), có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;1;2)\) (S) tiếp xúc với đường thẳng d \(\Rightarrow R = d(I;d) = \frac{{\left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = 4\) \(\Rightarrow {(x - 4)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 16\)
Câu 551: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S) là mặt cầu tâm I(2;1;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x-2y-z+3=0. Tìm bán kính R của mặt cầu (S). A. \(R = \frac{2}{9}\) B. \(R = \frac{2}{3}\) C. \(R = \frac{4}{3}\) D. \(R = 2\) Spoiler: Xem đáp án \(R = d(I,(P)) = \frac{{\left| {2.2 - 2.1 - ( - 1).3} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 2\)
