Câu 552: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết A(3;2;-1), B(1;-4;1). A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 44\) B. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 11\) C. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 44\) D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 11\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra I(2;-1;0) \(IA = \sqrt {{{(3 - 2)}^2} + {{(2 + 1)}^2} + {{( - 1 - 0)}^2}} = \sqrt {11}\) Mặt cầu có đường kính là AB nên nhận I là trung điểm của AB làm tâm, có bán kính \(R = IA = \sqrt {11}\) nên có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 11\)
Câu 553: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm I(-1;2;0), có đường kính bằng 10. A. \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 25\) B. \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 100\) C. \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25\) D. \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 100\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu tâm I, có đường kính bằng 10 nên có bán kính R=5. Nên có phương trình là: \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 25\)
Câu 554: Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z + 5 = 0\) B. \(2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 5 = 0\) C. \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - 2y - 2z - 2 = 0\) D. \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2z + 5 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Để kiểm tra phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)(*) có phải là phương trình mặt cầu hay không ta kiểm tra điều kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Xét 4 phương án: - Loại B và D vì không có dạng (*). - A không thỏa điều kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). - Với phương án C: Chia 2 vế cho 2 ta sẽ đưa phương trình về dạng (*), và tìm được a, b, c, d thỏa \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).
Câu 555: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 2 = 0\) A. Tâm I(-1;-2;3), bán kính R=4 B. Tâm I(1;2;-3), bán kính R=4 C. Tâm I(-1;-2;3), bán kính \(R = \sqrt {12}\) D. Tâm I(1;2;-3), bán kính \(R = \sqrt {12}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt cầu dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 2 = 0\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2\\ c = - 3 \end{array} \right.\) Suy ra mặt cầu có tâm I(1;2;-3), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2} + 2} = 4\)
Câu 556: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${x^2}+{y^2}+{z^2} - 4x - 2y+2z+5 = 0$ và mặt phẳng $(P):3x - 2y+6z+m = 0$. Tìm m để (S) và (P) có điểm chung. A. m>9 hoặc m<-5 B. \(- 5 \le m \le 9\) C. \(2 \le m \le 3\) D. m>3 hoặc m<2 Spoiler: Xem đáp án (S) có tâm I(2;1;-1); bán kính R=1. Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 - 2.1 + 6.\left( { - 1} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2}} }}\) \(= \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{7}\) Để (S) và (P) có điểm chung thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) \le R\) \(\Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{7} \le 1 \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| \le 7\)\(\Leftrightarrow - 7 \le m - 2 \le 7\)\(\Leftrightarrow - 5 \le m \le 9\)
Câu 557: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):2x+y = 0$. A. \(3x - 2y - 7 = 0\) B. \(x - 2y + 3z = 0\) C. \(2x + y - 4z = 0\) D. \(3y + 2z + 7 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Lấy điểm \(A\left( {2;1;0} \right) \in d\). Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = (2;1;0)\) Đường thẳng d có VTCP: \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;1} \right)\) Mặt phẳng \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_P}}\) có phương song song với mặt phẳng (Q) . Măt khác (P) chứa d. Suy ra VTPT của mặt phẳng (Q) là: \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) Vậy mặt phằng (Q) đi qua A(2;1;0), VTPT \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) nên có phương trình: \(\left( Q \right): - 1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - 3z = 0\)\(\Leftrightarrow x - 2y + 3z = 0\)
Câu 558: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d. A. \(M\left( {1;2; - 1} \right)\) B. \(M\left( {1; - 2; - 1} \right)\) C. \(M\left( {1; - 2;1} \right)\) D. \(M\left( {1;2;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án d có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d. Do (P) vuông góc với d nên có VTPT là: \(\overrightarrow n = \overrightarrow u = (2;1;2)\). Vậy phương trình của (P) là: \(\left( P \right):2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z + 3} \right)\)\(= 2x + y + 2z + 2 = 0\) Gọi H là giao điểm của d và (P) (hay H là hình chiếu của M lên đường thẳng d suy ra \(H\left( {2h + 3;h - 1;2h + 1} \right)\) và H thuộc (P) nên ta có: \(\begin{array}{l} 2\left( {2h + 3} \right) + h - 1 + 2\left( {2h + 1} \right) + 2 = 0\\ \Rightarrow h = - 1\\ \Rightarrow H\left( {1; - 2; - 1} \right) \end{array}\)
Câu 559: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t\\ y = 2 - t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\). Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3. A. \({M_1}\left( {4;1;2} \right),{M_2}\left( { - 2;3;0} \right)\) B. \({M_1}\left( {4;1;2} \right),{M_2}\left( { - 2; - 3;0} \right)\) C. \({M_1}\left( {4; - 1;2} \right),{M_2}\left( { - 2;3;0} \right)\) D. \({M_1}\left( {4; - 1;2} \right),{M_2}\left( {2;3;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Vì M thuộc đường thẳng d nên \(M\left( {1 + 3m;2 - m;1 + m} \right)\) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2\left( {1 + 3m} \right) - 2\left( {2 - m} \right) + 1 + m + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {9m} \right|}}{3}\) Theo bài ra ta có: \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 3 \Rightarrow \frac{{\left| {9m} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} M\left( {4;1;2} \right)\\ M\left( { - 2;3;0} \right) \end{array} \right.\)
Câu 560: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {3;2; - 1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). A. \(\left( Q \right):2x + 2y + 3z - 7 = 0\) B. \(\left( Q \right):2x - 2y + 3z - 7 = 0\) C. \(\left( Q \right):2x + 2y + 3z - 9 = 0\) D. \(\left( Q \right):x + 2y + 3z - 7 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có VTPT: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\) \(\overrightarrow {AB} = (2;4; - 4)\) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {4;4;6} \right)\) Vì mặt phẳng (Q) đi qua A,B và vuông góc với mặt phẳng P nên ta có VTPT: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {2;2;3} \right)\) Mặt phẳng (Q) qua A nên: \(2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 2y + 3{\rm{z}} - 7 = 0\)
Câu 561: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right),B\left( {1; - 2;3} \right),C\left( {0;1;2} \right)\). Viết Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C. A. \(x + 2y + z + 1 = 0\) B. \(- 2x + y + z - 3 = 0\) C. \(2x + y + z - 3 = 0\) D. \(x + y + z - 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;4} \right)\\ \overrightarrow {AC} = \left( { - 2;1;3} \right)\\ \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&4\\ 1&3 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 1}\\ 3&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 2}\\ { - 2}&1 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) \end{array}\) (P) đi qua 3 điểm A, B, C nên đi qua A(2;0;-1) và nhận \(\overrightarrow n = - \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;1;1} \right)\) làm VTPT, nên có phương trình là: \(\begin{array}{l} 2(x - 2) + 1(y - 0) + 1(z + 1) = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0 \end{array}\)
