Câu 562: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm điểm M ở trên trục Ox và cách đều hai mặt phẳng \(x + 2y - 2z + 1 = 0\) và \(2x + 2y + z - 5 = 0\). A. \(M\left( { - 4;0;0} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{2}{3};0;0} \right)\). B. \(M\left( { 7;0;0} \right)\) hoặc \(M\left( {-\frac{5}{3};0;0} \right)\). C. \(M\left( { - 6;0;0} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{7}{3};0;0} \right)\). D. \(M\left( { 6;0;0} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{4}{3};0;0} \right)\). Spoiler: Xem đáp án Do \(M \in Ox\) nên \(M\left( {x;0;0} \right)\). Do M cách đều hai mặt phẳng đã cho nên ta có phương trình: \(\frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)\(= \frac{{\left| {2x - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }}\)\(\Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| = \left| {2x - 5} \right|\)\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 6}\\ {x = \frac{4}{3}} \end{array}} \right.\)
Câu 563: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm B(0;3;7) và I(12;5;0). Tìm điểm A sao cho I là trung điểm của đoạn AB. A. A(2;5;-5) B. A(0;1;-1) C. A(24;7;-7) D. A(1;2;-5) Spoiler: Xem đáp án Do I là trung điểm của AB nên: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_A} = 2{x_I} - {x_B}\\ {y_A} = 2{y_I} - {y_B}\\ {z_A} = 2{z_I} - {y_I} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_A} = 24\\ {y_A} = 7\\ {z_A} = - 7 \end{array} \right.\)
Câu 564: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng \(d : \frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\) và mặt phẳng $(P): - x+y+2z+3 = 0$. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). A. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) B. \(\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\) C. \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\) D. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\) Spoiler: Xem đáp án Giao (d) và (P) là M(–1;0;–2) \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_p}} } \right] = (1; - 7;4)\) \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {{n_p}} } \right] = ( - 18; - 6; - 6) = - 6(3;1;1)\) Phương trình đường thẳng cần viết là \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{1} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\)
Câu 565: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng \({d_1} : \frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}\) và \({d_2} : \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 4}}{5}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2. A. x - y - 2z - 7 = 0 B. x - y - 2z + 7 = 0 C. x + 2y - z - 1 = 0 D. x + 2y - z + 1 = 0 Spoiler: Xem đáp án Có M(0;1;3) ∈ d1. Mặt phẳng (P) đi qua M và nhận \(\overrightarrow {{n_p}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = ( - 1; - 2;1)\) làm VTPT Nên (P) có phương trình \(–x – 2y + z – 1 = 0 n \to \Leftrightarrow x + 2y – z + 1 = 0.\)–x – 2y + z – 1 = 0 ⇔ x + 2y – z + 1 = 0.
Câu 566: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) điểm A (2; -1; 1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A. A. \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = 20\) B. \({x^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 5\) C. \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 20\) D. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 14\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc (d) là: –x + y + 2z + 1 = 0 Giao điểm (P) và (d) là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} --x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2} \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} --x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1}\\ \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2\\ z = - 1 \end{array} \right.\) Suy ra: I(1;2;–1). Ta có bán kính mặt cầu R=IA2 = 14. Phương trình mặt cầu là \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 14\)
Câu 567: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(0;1;-1) và B (1;2;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B. A. \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{4}\) B. \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}\) C. \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{4}\) D. \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} = (1;1;4)\) làm VTCP và đi qua A(0;1;–1) nên có phương trình: \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{4}\)
Câu 568: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (-1;2;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P) . A. \((Q):2x - y + z + 3 = 0\) B. \((Q):2x - y + z - 3 = 0\) C. \((Q): - x + 2y + z + 3 = 0\) D. \((Q): - x + 2y + z - 3 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Vì (P) // (Q) nên 2 mặt phẳng có cùng VTPT (2;–1;1). Nên phương trình (Q) có dạng: \(2x - y + z + m = 0\left( {m \ne - 1} \right)\) (Q) đi qua A(–1;2;1) nên: \(2.\left( { - 1} \right) - 2 + 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = 3\) Vậy (Q) có phương trình 2x – y + z + 3 = 0.
Câu 569: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;1;-2) và đi qua điểm M (2;-1;0). A. \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 9\) B. \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 3\) C. \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 9\) D. \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 3\) Spoiler: Xem đáp án Tâm I(1;1;–2), bán kính mặt cầu là R = IM = 3 nên phương trình mặt cầu là \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 9\)
Câu 570: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; tìm vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a\) của đường thẳng có phương trình .\(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 - t\\ z = 3 + 2t \end{array} \right.\). A. \(\overrightarrow a = (2;1;3)\) B. \(\overrightarrow a = (1; - 1;2)\) C. \(\overrightarrow a = ( - 1;1;2)\) D. \(\overrightarrow a = (1;2;3)\) Spoiler: Xem đáp án Theo bài ra ta có ngay vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (1; - 1;2)\).
Câu 571: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 2z + 2 = 0\). Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). A. I(1;-2;1) và R = 2 B. I(-1;2;-1) và R = 4 C. I(1;-2;1) và R = 4 D. I(-1;2;-1) và R = 2 Spoiler: Xem đáp án \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 2z + 2 = 0\) \(\Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 4\) Vậy mặt cầu có tâm I(-1;2;-1); R=2 .
