Câu 572: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y+3}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}$ và ${d_2}:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y+2}}{3} = \frac{{z - 6}}{1}$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) cắt ${d_1},\,{d_2}$ lần lượt tại A và B. Tính độ dài AB. A. AB=3 B. AB=6 C. AB=2 D. AB=4 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} A(3 + t; - 3 + 2t;2 + t) \in {d_1}\\ B(4 + 2t'; - 2 + 3t';6 + t') \in {d_2}\\ \overrightarrow {AB} = \left( {1 - t + 2t';1 - 2t + 3t';4 - t + t'} \right) \end{array}\) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\). Khi đó \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng (Oxy) khi và chỉ khi: \(\overrightarrow {AB} = m.\overrightarrow k\) Điều này xảy ra khi:\(\left\{ \begin{array}{l} t - 2t' = 1\\ 2t - 3t' = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 1\\ t' = - 1 \end{array} \right.\) Suy ra AB=4.
Câu 573: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\begin{cases} & x = 11t\\ & y = - 1 - 2t\\ & z = 7t \end{cases}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):5x+my - 3z+2 = 0$. Tìm giá trị của m để $\Delta$ cắt $\left ( \alpha \right )$ tại điểm thuộc mặt phẳng (Oyz). A. m=-2 B. m=2 C. m=3 D. m=-3 Spoiler: Xem đáp án Gọi M là giao điểm của \(\left ( \alpha \right )\) và \(\Delta\) \(\Rightarrow M(11t; - 1 - 2t;7t)\) Hoành độ của điểm M bằng 0 nên: \(11t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M\left( {0; - 1;0} \right)\) Mà \(M \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 5.0 + m( - 1) - 3.0 + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\)
Câu 574: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;3;-1) và đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z - 3}}{1}\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng qua M và vuông góc và cắt d. Viết phương trình của \(\Delta\). A. \(\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y + 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{{32}}\) B. \(\frac{{x + 2}}{6} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{{z - 1}}{{32}}\) C. \(\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 32}}\) D. \(\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 1}}{{32}}\) Spoiler: Xem đáp án d có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;4;1} \right)\) Gọi N là giao điểm của \(\Delta\) và \(d\) Do N thuộc d nên tọa độ N có dạng: \(N(2t;4t;3 + t)\) \(\overrightarrow {MN} = \left( {2t - 2;4t - 3;t + 4} \right)\) \(\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{7}\) Khi đó \(\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{6}{7}; - \frac{5}{7};\frac{{32}}{7}} \right)\) Đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} Qua\,M(2;3; - 1)\\ VTCP\,\overrightarrow {{u_\Delta }} = - 7.\overrightarrow {MN} = \left( {6;5; - 32} \right) \end{array} \right.\) Nên có phương trình: \(\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 32}}\)
Câu 575: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - 2z - 6 = 0\)và điểm M(1;1;1). Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua \(\left ( \alpha \right )\). A. N(2;2;-1) B. N(3;3;3) C. N(-3;3;3) D. N(3;3;-3) Spoiler: Xem đáp án Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với \(\left ( \alpha \right )\). Suy ra phương trình của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 + t\\ z = 1 - 2t \end{array} \right.\) Gọi \(H(1 + t;1 + t;1 - 2t)\) là giao điểm của d và \(\left ( \alpha \right )\). Thay tọa độ \(H(1 + t;1 + t;1 - 2t)\) vào phương trình \(\left ( \alpha \right )\) ta có:\((1 + t) + (1 + t) - 2(1 - 2t) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) Suy ra: H(2;2;-1). Mà H là trung điểm của MN nên suy ra tọa độ N là N(3;3;-3).
Câu 576: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{m} = \frac{{y+2}}{{2m - 1}} = \frac{{z+3}}{2}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+3y - 2z - 5 = 0$. Tìm giá trị m để $\Delta$ song song hoặc nằm trong $\left ( \alpha \right )$. A. m=-1 B. m=3 C. m=1 D. m=-3 Spoiler: Xem đáp án \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {m;2m - 1;2} \right)\). \(\left( \alpha \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;3; - 2} \right)\) Do \(\Delta\) song song hoặc nằm trong \(\left (\alpha \right )\) \(\Rightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow n \Rightarrow \vec u.\vec n = 0 \Leftrightarrow 1.m + 3(2m - 1) - 2.2 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Câu 577: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác OAB có tọa độ các đỉnh là O(0;0;0), A(4;-2;1), B(2;4;-3). Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh O của tam giác OAB. A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 22t\\ y = 4t\\ z = - 5t \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 3t\\ y = - 2 + 14t\\ z = 1 - 13t \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 11t\\ y = - 1 + 2t\\ z = 3 - 5t \end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3t\\ y = 14t\\ z = 13t \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;6; - 4} \right)\). Đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l} Qua\,\,A(4; - 2;1)\\ VTCP\,\,\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 2} \right) \end{array} \right.\) Nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 4 - t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 - 2t \end{array} \right.\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên AB \(\begin{array}{l} \Rightarrow H \in AB \Leftrightarrow H(4 - t; - 2 + 3t;1 - 2t)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OH} = (4 - t; - 2 + 3t;1 - 2t) \end{array}\) \(\begin{array}{l} OH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB} = 0\\ \Rightarrow - 2(4 - t) + 6( - 2 + 3t) - 4(1 - 2t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{6}{7} \end{array}\) \(\Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{22}}{7};\frac{4}{7}; - \frac{5}{7}} \right)\) Đường cao kẻ từ đỉnh O là đường thẳng OH: \(\left\{ \begin{array}{l} Qua\,O(0;0;0)\\ VTCP\,\,\overrightarrow u = 7.\overrightarrow {OH} = \left( {22;4; - 5} \right) \end{array} \right.\) Nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 22t\\ y = 4t\\ z = - 5t \end{array} \right.\)
Câu 578: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{4},\,\) \({d_2}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 18}}{4}\) . Tính khoảng cách d giữa \(d_1\) và \(d_2\). A. d=20 B. d=25 C. d=15 D. d=30 Spoiler: Xem đáp án \(d_1\) có \(\left\{ \begin{array}{l} VTCP\,\,\,\,\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 1;4} \right)\\ Qua\,\,\,\,\,M( - 7;5;9) \end{array} \right.\) \(d_2\) có \(\left\{ \begin{array}{l} VTCP\,\,\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 1;4} \right)\\ Qua\,\,\,\,N(0; - 4; - 18) \end{array} \right.\) Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} ,\,\,M \notin {d_2} \Rightarrow {d_1}//{d_2}\) \(\overrightarrow {MN} = \left( {7; - 9; - 27} \right)\) Vậy \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = d\left( {M,{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = 25\)
Câu 579: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đương thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = (m - 1)t\\ y = (2m + 1)t\\ z = 1 + (2{m^2} + 1) \end{array} \right.\). Với giá trị nào của m thì d nằm trong mặt phẳng (Oyz)? A. m=2 B. m=-1 C. m=1 hoặc m=-1 D. m=1 Spoiler: Xem đáp án Do \(d \subset \left( {Oyz} \right)\) nên \(x = 0 \Rightarrow (m - 1)t = 0 \Rightarrow m = 1\)
Câu 580: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 t\\ y = \sqrt 2 t\\ z = 2 t \end{array} \right.,\,\,\,\,{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 t\\ y = 1 \sqrt 2 t\\ z = 2 mt \end{array} \right.$. Với giá trị nào của m thì góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ bằng $60^0$? A. m=1 B. m=-1 C. \(m=\frac{1}{2}\) D. \(m=-\frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \({\Delta _1}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\sqrt 2 ;1} \right)\) \({\Delta _2}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\sqrt 2 ;m} \right)\) Ta có: \(\begin{array}{l} \cos {60^0} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {m + 3} \right| = \sqrt {{m^2} + 3} \Leftrightarrow m = - 1 \end{array}\)
Câu 581: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính số đo góc tạo bởi hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = 2\\ z = 2 + t \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 8 - 2t\\ y = t\\ z = 2t \end{array} \right.\). A. \(45^0\) B. \(60^0\) C. \(30^0\) D. \(90^0\) Spoiler: Xem đáp án $d_1$ có VTCP: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;0;1} \right)\) $d_2$ có VTCP: \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;1;2} \right)\) Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\) Vậy góc giữa d1 và d2 là \(90^0\)
