Câu 582: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính số đo góc tạo bởi đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1+2t\\ y = 1+t\\ z = - 1+t \end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x+4y+5z+8 = 0$. A. \(60^0\) B. \(30^0\) C. \(45^0\) D. \(90^0\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d có VTCP: \(\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right)\) Mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {3;4;5} \right)\) Gọi \(\varphi\) là góc giữa d và \(\left ( \alpha \right )\) ta có: \(\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = {60^0}\)
Câu 583: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),\,B\left( {3; - 1;0} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\). Gọi M là điểm thuộc d sao cho MA+MB nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M. A. M(-1;1;-2) B. M(2;-2;4) C. M(1;-1;2) D. M(-2;2;-4) Spoiler: Xem đáp án d có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;4} \right) = 2\overrightarrow u\) \(A \notin d \Rightarrow AB//d\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên D C là điểm đối xứng với A qua d. Ta tìm được H(0;0;0) suy ra C(-1;-1;0) \(MA + MB = MC + MB \ge BC,\forall M \in d\) Nên: \(Min\left| {MA + MB} \right| = BC\) khi \(M = BC \cap d\) Phương trình BC:\(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = - 1\\ z = t \end{array} \right.\) Tọa độ M là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = - 1\\ z = t\\ \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = - 1\\ z = 2 \end{array} \right.\)
Câu 584: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 4}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) và điểm \(M\left( {2; - 1;5} \right)\). Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta\). A. H(4;0;2) B. H(2;0;1) C. H(4;1;2) D. H(-4;0;2) Spoiler: Xem đáp án Cách 1: \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;1;1} \right)\) Gọi \(H(4 + t;t;2 + t) \in \Delta\) Ta có: \(\overrightarrow {MH} = \left( {t + 2;t + 1;t - 3} \right)\) \(MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow t = 0\) Vậy H(4;0;2) Cách 2: + Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc \(\Delta\). + H cần tìm là giao điểm của (P) và \(\Delta\).
Câu 585: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 10+2t\\ z = t \end{array} \right.,\,\,\,\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 3t\\ y = 3 - 2t\\ z = - 2 \end{array} \right.$. Vectơ nào sau đây là VTCP đường thẳng vuông góc chung của $d_1$ và $d_2$. A. \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3; - 6} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3;6} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( {-2; 3; 6} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( {2; 3; 6} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(d_1\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;2;1} \right)\) \(d_2\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 2;0} \right)\) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;3; - 6} \right)\) Đường thẳng vuông góc chung của \(d_1\) và \(d_2\) có VTCP \(\overrightarrow u = k\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = k\left( {2;3; - 6} \right)\) Với k=-1 ta có: \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3;6} \right)\).
Câu 586: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), vuông góc với d đồng thời nằm trong \(\left (\alpha \right )\). Biết \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 11t\\ y = - 5 + 27t\\ z = 4 + 15t \end{array} \right.;\,\,\left( \alpha \right):2x + 5y + z + 17 = 0\). A. \(\Delta :\frac{{x + 48}}{2} = \frac{{y - 41}}{{ - 5}} = \frac{{z + 109}}{4}\) B. \(\Delta :\frac{{x + 2}}{{ - 48}} = \frac{{y - 5}}{{41}} = \frac{{z + 4}}{{ - 109}}\) C. \(\Delta :\frac{{x - 48}}{2} = \frac{{y + 41}}{{ - 5}} = \frac{{z + 109}}{4}\) D. \(\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 48}} = \frac{{y + 5}}{{41}} = \frac{{z - 4}}{{ - 109}}\) Spoiler: Xem đáp án Giao điểm của d và \(\left ( \alpha \right )\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 11t\\ y = - 5 + 27t\\ z = 4 + 15t\\ 2x + 5y + z + 17 = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow 2\left( {2 - 11t} \right) + 5\left( { - 5 + 27t} \right) + \left( {4 + 15t} \right) + 17 = 0 \Leftrightarrow t = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = - 5\\ z = 4 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy tọa độ giao điểm của d và \(\left ( \alpha \right )\) là: M(2;-5;4) Gọi \(\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_\Delta }}\) lần lượt là VTCP của d và \(\Delta\). \(\overrightarrow {{n_\alpha }}\) là VTPT của \(\left ( \alpha \right )\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}} \\ \Delta \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right] = \left( { - 48;41; - 109} \right)\) Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta\) là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 48}} = \frac{{y + 5}}{{41}} = \frac{{z - 4}}{{ - 109}}\)
Câu 587: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + mt\\ y = t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2 + 2t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\). Với giá trị nào của m thì \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau? A. m=0 B. m=1 C. m=-1 D. m=2 Spoiler: Xem đáp án \(d_1\) có \(\left\{ \begin{array}{l} VCTP\,\,\overrightarrow {{u_1}} = \left( {m;1;2} \right)\\ Qua\,{M_1}\left( {1;0; - 1} \right) \end{array} \right.\) \(d_2\) có \(\left\{ \begin{array}{l} VTCP\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\\ Qua\,{M_2}(1;2;3) \end{array} \right.\) \(d_1\) cắt \(d_2\) khi: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\\ \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2.( - 5) + 2(m - 2) + 4(2m + 2) = 0\\ \left( { - 5;m - 2;2m + 2} \right) \ne \left( {0;0;0} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 0 \end{array}\)
Câu 588: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x + 2y + z - 12 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 6 - 3t\\ z = 3t \end{array} \right.\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. \(\Delta //\left( \alpha \right)\) B. \(\Delta \in \left( \alpha \right)\) C. \(\Delta \subset \left( \alpha \right)\) D. \(\Delta\) cắt \(\left ( \alpha \right )\) Spoiler: Xem đáp án \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1; - 3;3} \right)\), đi qua M(0;6;0). Mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {3;2;1} \right)\) Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow n = 1.3 - 3.2 + 3.1 = 0\) Suy ra: \(\left ( \alpha \right )\) song song hoặc chứa \(\Delta\). Mặt khác: \(M\left( {0;6;0} \right) \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \Delta \subset \left( \alpha \right)\)
Câu 589: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng AB biết \(A(2;3; - 1);\,B(1;2;4)\). A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2 - t\\ z = 4 - 5t \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = - 3 + t\\ z = 1 - 5t \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 + t\\ z = 4 + 5t \end{array} \right.\,\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t\\ y = 3 - t\\ z = - 1 + 5t \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;5} \right)\) Đường thẳng AB:\(\left\{ \begin{array}{l} Qua\,A(2;3; - 1)\\ VTCP\,\overrightarrow {{u_{AB}}} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;5} \right) \end{array} \right.\) nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t\\ y = 3 - t\\ z = - 1 + 5t \end{array} \right.\)
Câu 590: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương. A. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = - 2\\ z = t \end{array} \right.\) B. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = - 2 + 2t\\ z = t \end{array} \right.\) C. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = - 2t\\ z = 1 \end{array} \right.\) D. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t\\ y = - 2 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng d đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = - 2\\ z = t \end{array} \right.\)
Câu 591: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 1 - 2t\\ z = 2 \end{array} \right.$. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của d. A. \(\overrightarrow u = (1;1;2)\) B. \(\overrightarrow u = (1; - 2;2)\) C. \(\overrightarrow u = (1; - 2;0)\) D. \(\overrightarrow u = (0;1;2)\) Spoiler: Xem đáp án Đáp án đúng: C
