Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - m + 2t\\z = n + t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2mx - y + mz - n = 0\). Biết đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó hãy tính m + n. A. 8 B. 12 C. -12 D. -8 Spoiler: Xem đáp án Do \(d \in \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2; - m;n} \right) \in \left( P \right)\,\left( {t = 0} \right)\\\left( {2; - m + 2;n + 1} \right) \in \left( P \right)\,\left( {t = 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + m + mn - n = 0\\4m + m - 2 + mn + m - n = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m + mn - n = 0\\6m + mn - n = 2\end{array} \right. \Rightarrow n = \frac{{5m}}{{1 - m}} \Rightarrow 6m + \frac{{5{m^2}}}{{1 - m}} - \frac{{5m}}{{1 - m}} - 2 = 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 3m - 2 = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\left( L \right)\\m = 2 \Rightarrow n = - 10\end{array} \right.\\ \Rightarrow m + n = - 8.\end{array}\)
Câu 52: Trong không gian Oxyz, cho bốn véctơ \(\overrightarrow a = \left( {2;3;1} \right),\overrightarrow b = \left( {5;7;0} \right),\overrightarrow c = \left( {3; - 2;4} \right)\), \(\overrightarrow d = \left( {4;12; - 3} \right).\)Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng? A. \(\overrightarrow d = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \) B. \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \) C. \(\overrightarrow d = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \) D. \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow c \) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(\overrightarrow d = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \) Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2m + 5n + 3p\\12 = 3m + 7n - 2p\\ - 3 = m + 4p\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\\p = - 1\end{array} \right.\) Vậy: \(\overrightarrow d = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c .\)
Câu 53: Cho 4 điểm \(O\left( {0;0;0} \right),\,A\left( {0;1; - 2} \right),\,B\left( {1;1;1} \right),\,C\left( {4;3;m} \right)\). Tìm m để 4 điểm đồng phẳng? A. – 7 B. – 14 C. 14 D. 7 Spoiler: Xem đáp án Ta viết phương trình mặt phẳng OAB, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA}= \left( {0;1; - 2} \right)\\\overrightarrow {OB}= \left( {1;2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {OAB} \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {5; - 2; - 1} \right) \Rightarrow \left( {OAB} \right):5x - 2y - z = 0\) \(C \in \left( {OAB} \right) \Rightarrow 5.4 - 2.3 - m = 0 \Leftrightarrow m = 14.\)
Câu 54: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec u=\left( {1; - 2;1} \right)\)và \(\vec v=\left( { - 2;1;1} \right)\), góc giữa hai vecto đã cho bằng bao nhiêu? A. \(\frac{\pi }{3}\) B. \(\frac{{2\pi }}{3}\) C. \(\frac{\pi }{6}\) D. \(\frac{{5\pi }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\cos \left( {\vec u;\vec v} \right) = \frac{{\vec u.\vec v}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|}} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \left( {\vec u;\vec v} \right) = \frac{{2\pi }}{3}.\)
Câu 55: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):4x - z + 3 = 0\). Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d? A. \(\vec u = \left( {4;1; - 1} \right)\) B. \(\vec u = \left( {4; - 1;3} \right)\) C. \(\vec u = \left( {4;0; - 1} \right)\) D. \(\vec u = \left( {4;1;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = k.\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) Vậy vecto chỉ phương của đường thẳng d là \(\vec u = \left( {4;0; - 1} \right).\)
Câu 56: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(H\left( {1;2; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt các trục tọa độ Ox, Oy và Oz tại các điểm A, B và C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\) A. \(\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 14 = 0.\) B. \(\left( \alpha \right):x + 2y - 3z + 4 = 0.\) C. \(\left( \alpha \right):6x + 3y - 2z - 18 = 0.\) D. \(\left( \alpha \right):6x + 3y - 2z + 8 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án VTPT của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {OH} = \left( {1;2; - 3} \right).\) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\left( \alpha \right):1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z + 3} \right) = 0\,\)hay \(\,\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 14 = 0.\)
Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + {\rm{z}} - 12 = 0.\) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\) A. \(H\left( {3; - 2;5} \right).\) B. \(H\left( {2;0;4} \right).\) C. \(H\left( {5; - 6;7} \right).\) D. \(H\left( { - 1;6;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án VTPT của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right).\) Đường thẳng d qua M và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 + t\end{array} \right..\) Ta có: \(H = d \cap \left( \alpha \right).\) Viết hệ PT giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\) ta có: \(H\left( {3; - 2;5} \right).\)
Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I\left( {2; - 1; - 6} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}.\) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi, luôn chứa đường thẳng \(\Delta ;\) \(\left( S \right)\) là mặt cầu tâm I và tiếp xúc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính lớn nhất. Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right).\) A. \(R = 3\sqrt 2 .\) B. \(R = 5.\) C. \(R = 2\sqrt 3 .\) D. \(R = 2\sqrt 5 .\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính lớn nhất bằng khoảng cách từ I đến d. VPCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right).\) Điểm \(M\left( {1;0; - 1} \right) \in \Delta \) và \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 1;1;5} \right).\) \(d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 3\sqrt 2 .\)
Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;2;2} \right),B\left( {4; - 1;0} \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm A, B. A. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 2 + 3t\\z = 2 + 2t\end{array} \right..\) B. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = 2 - t\\z = 2\end{array} \right..\) C. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\end{array} \right..\) D. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = - 3 - t\\z = - 2\end{array} \right..\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) Nên các VTCP của đường thẳng \(AB\) có dạng \(\overrightarrow u = k\left( {1; - 3; - 2} \right),(k \ne 0)\) Vậy A là phương án đúng.
Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0; - 3} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right).\) A. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.\) B. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 3.\) C. \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.\) D. \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(R = IM = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 3} \right)}^2}} = 3.\)
