Câu 592: Cho bốn điểm \(A\left( {1,3, - 3} \right);B\left( {2; - 6;7} \right),C\left( { - 7; - 4;3} \right)\) và \(D\left( {0; - 1;4} \right)\). Gọi \(P = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\), tìm điểm M thuộc mặt phẳng Oxy để P đạt giá trị nhỏ nhất. A. \(M\left( { - 1; - 2;0} \right)\) B. \(M\left( {0; - 2;0} \right)\) C. \(M\left( { - 1;0;3} \right)\) D. \(M\left( { - 1; - 2;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow G\left( { - 1; - 2;\frac{{11}}{4}} \right)\) \(\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} = 4\overrightarrow {MG} \end{array}\) (quy tắc chèn điểm vector) P đạt giá trị nhỏ nhất nên \(\left| {4\overrightarrow {MG} } \right|\) nhỏ nhất hay MG ngắn nhất, điều này xảy ra khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng Oxy Ta có \(G\left( { - 1; - 2;\frac{{11}}{4}} \right) \Rightarrow M\left( { - 1; - 2;0} \right)\).
Câu 593: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {4;2;2} \right),B\left( {0;0;7} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - 6}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\). Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại điểm A. A. \(C\left( { - 1;8;2} \right)\) hoặc \(C\left( {9;0; - 2} \right)\) B. \(C\left( { 1;-8;2} \right)\) hoặc \(C\left( {9;0; - 2} \right)\) C. \(C\left( { 1;8;2} \right)\) hoặc \(C\left( {9;0; - 2} \right)\) D. \(C\left( { 1;8;-2} \right)\) hoặc \(C\left( {9;0; - 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Vì C thuộc d nên ta có theo bài ta có: \(\begin{array}{l} AB = AC \Leftrightarrow 3\sqrt 5 = \sqrt {{{\left( {1 + 2c} \right)}^2} + {{\left( {2c + 4} \right)}^2} + {{\left( { - c + 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c = 1\\ c = - 3 \end{array} \right. \end{array}\) Nên ta có \(C\left( {1;8;2} \right);C\left( {9;0; - 2} \right)\).
Câu 594: Xác định \(m,n,p\) để hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y - 4z + p = 0;\) \(\left( Q \right):mx + \left( {n - 1} \right)y + 8z - 10 = 0\) trùng nhau. A. \(m = 4;n = 5;p = - 5\) B. \(m = - 4;n = - 5;p = 5\) C. \(m = - 3;n = - 4;p = 5\) D. \(m = - 2;n = - 3;p = 5\) Spoiler: Xem đáp án Xét m=0, n=1 không thỏa yêu cầu bài toán. Vậy (P) và (Q) trùng nhau khi: \(\frac{2}{m} = \frac{3}{{n - 1}} = \frac{{ - 4}}{8} = \frac{p}{{ - 10}}\)\(\Rightarrow m = - 4;n = - 5;p = 5\)
Câu 595: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD biết \(A\left( {1;1;0} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {2;0;1} \right)\), \(D\left( { - 1;0; - 3} \right)\) . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{7}x + \frac{5}{7}z - \frac{{50}}{7} = 0\) B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{7}x - \frac{{31}}{7}y + \frac{5}{7}z - \frac{{50}}{7} = 0\) C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{7}x + \frac{{31}}{7}y - \frac{5}{7}z - \frac{{50}}{7} = 0\) D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{7}x + \frac{{31}}{7}y + \frac{5}{7}z - \frac{{50}}{7} = 0\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt cầu có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) Lần lượt thay tọa độ của các điểm của tứ diện đã cho vào phương trình mặt cầu trên ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} 2a + 2b + d = - 2\\ 2a + 4c + d = - 5\\ 4a + 2c + d = - 5\\ - 2a - 6c + d = - 10 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{5}{{14}}\\ b = \frac{{31}}{{14}}\\ c = \frac{5}{{14}}\\ d = \frac{{ - 50}}{7} \end{array} \right.\)
Câu 596: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm \(A\left( { - 3;2;5} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y - 5z - 13 = 0\). A. \(H\left( {2;3;4} \right)\) B. \(H\left( {3; - 3;3} \right)\) C. \(H\left( { - 1;5;0} \right)\) D. \(H\left( {6;4;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 5)\). Gọi d là đường thẳng qua A(-3;2;5) và vuông góc với mặt phẳng (P), khi đó: (d) có: \(\left\{ \begin{array}{l} VTCP\,\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 5)\\ qua\,A( - 3;2;5) \end{array} \right.\) nên phương trình tham số của (d) là: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3 + 2t}\\ {y = 2 + 3t}\\ {z = 5 - 5t} \end{array}} \right.\) Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3 + 2t}\\ {y = 2 + 3t}\\ {z = 5 - 5t} \end{array}\\ 2x + 3y - 5z - 13 = 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow 2.\left( { - 3 + 2t} \right) + 3\left( {2 + 3t} \right) - 5\left( {5 - 5t} \right) - 13 = 0\) Suy ra: \(H\left( { - 1;5;0} \right)\)
Câu 597: Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng có phương trình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 7} \right)\). A. \(3x + y - 7z = 0\) B. \(3x + z - 7 = 0\) C. \(- 6x - 2y + 14z - 1 = 0\) D. \(3x - y - 7z + 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Kiếm tra VTPT các mặt phẳng ta có A là phương án đúng.
Câu 598: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + 6t}\\ {y = - 5 + 3t}\\ {z = 6 - 5t} \end{array}} \right.\). A. \(\overrightarrow u = \left( {6;3; - 5} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( { - 6; - 3;5} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 5;6} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( { - 1;5; - 6} \right)\) Spoiler: Xem đáp án VTCP của d là: \(\overrightarrow u = \left( {6;3; - 5} \right)\)
Câu 599: Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow u\) biết rằng \(\overrightarrow a + \overrightarrow u = \overrightarrow 0\) và \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;1} \right)\). A. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;8} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( {6; - 4; - 6} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( { - 3; - 8;2} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\overrightarrow u = \left( {x,y,z} \right)\) ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow u = \overrightarrow 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} x + 1 = 0\\ y - 2 = 0\\ z + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 2\\ z = - 1 \end{array} \right.\) Vậy \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right)\)
Câu 600: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3; - 2; - 4} \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y - 3z - 7 = 0\) và cắt đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{2}\) tại điểm M. Tìm tọa độ điểm M. A. \(M(8; - 8;5)\) B. \(M(8; - 4;5)\) C. \(M( - 2;3;1)\) D. \(M(8;8;5)\) Spoiler: Xem đáp án \(\left( \alpha \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;2} \right)\) Ta có: \(M = \Delta \cap d \Rightarrow M(2 + 3t; - 4 - 2t;1 + 2t)\) \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 1 + 3t; - 2 - 2t;5 + 2t} \right)\) Vì \(\Delta\) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow \left( { - 1 + 3t} \right).3 + \left( { - 2 - 2t} \right)( - 2) + (5 + 2t)( - 3) = 0 \Leftrightarrow t = 2\) Vậy \(M(8; - 8;5)\)
Câu 601: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + z + 3 = 0\), gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0\) và mặt phẳng \(x - 2y + 2z + 1 = 0\). Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc \(\left( \alpha \right)\) và chứa (C). Viết phương trình của (S). A. \({(x - 3)^3} + {(y + 5)^2} + {(z + 1)^2} = 20.\) B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x + 10y + 2z + 15 = 0.\) C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {(y - 5)^2} + {(z - 1)^2} = 20.\) D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {(y + 5)^2} + {(z - 1)^2} = 20.\) Spoiler: Xem đáp án Vì mặt cầu (S) có tâm I thuộc \(\left( \alpha \right)\) nên tọa độ điểm I phải thỏa mãn phương trình \(\left( \alpha \right)\). Lần lượt tìm tọa độ I và thay vào 4 phương án, ta được A là phương án cần tìm.
