Câu 602: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 5y + mz - 3 = 0,\,\left( \beta \right):2x + ny - 3z + 1 = 0\). Tìm giá trị của m, n để \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song. A. m=1; n=3 B. m=3; n=3 C. \(m = \frac{5}{2};n = \frac{7}{2}\) D. \(m = - \frac{9}{2};\,n = - \frac{{10}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nếu: \(\frac{3}{2} = \frac{{ - 5}}{n} = \frac{3}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 3}}{1}\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{2} = \frac{{ - 5}}{n}\\ \frac{3}{2} = \frac{m}{{ - 3}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = - \frac{{10}}{3}\\ m = - \frac{9}{2} \end{array} \right.\) Vậy chọn D.
Câu 603: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{4},\,{d_2}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 18}}{4}\). Tính khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$. A. \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = 25.\) B. \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = 20.\) C. \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = 15.\) D. \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \sqrt {15} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta dễ dàng kiểm tra được d1 và d2 là hai đường thẳng song song, nên ta chỉ việc lấy một điểm bất kì thuộc d1, và tính khoảng cách từ điểm đó đến d2. Gọi \(M( - 7;5;9) \in {d_1}\), \(H(0; - 4; - 18) \in {d_2}\). Ta có: \(\overrightarrow {MH} = \left( {7; - 9; - 27} \right)\) \(VTCP\,{d_2}:\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {3; - 1;4} \right)\,\) \(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MH} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = ( - 63; - 109;20)\) Vậy: \(d({d_1};{d_2}) = d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right|}} = 25\)
Câu 604: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 4}}\) và \(\left( {{\Delta _2}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 1 - 2t\\ z = - 1 - 8t \end{array} \right.\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. \(\left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right)\) B. \(\left( {{\Delta _1}} \right)//\left( {{\Delta _2}} \right)\) C. \(\left( {{\Delta _1}} \right) \equiv \left( {{\Delta _2}} \right)\) D. \(\left( {{\Delta _1}} \right);\left( {{\Delta _2}} \right)\) chéo nhau. Spoiler: Xem đáp án Cách 1: Suy luận nhanh Ta thấy hai đường thẳng có VTCP: \(\overrightarrow {{u_1}} = k.\overrightarrow {{u_2}}\) Nên suy ra chúng song song hoặc trùng nhau, nên chỉ cần lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng này và kiểm tra xem nó có thuộc đường thẳng kia hay không. Nếu có thì hai đường thẳng này trùng nhau, ngược lại thì chúng song song. Cách 2: \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = (1; - 1; - 4)\) đi qua điểm \({M_1}(1;1;2)\). \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = (2; - 2; - 8)\) đi qua điểm \({M_2}(0;1; - 1)\). \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1;0; - 3} \right)\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0 \end{array} \right.\) Nên \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) // \(\left( {{\Delta _2}} \right)\).
Câu 605: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với \(A(3; - 1;2);\,B( - 3;1;2)\). A. \(3x + y = 0\) B. \(3x - y = 0\) C. \(x - 3y = 0\) D. \(x + 3y = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;2;0} \right)\) Gọi M là trung điểm của AB ta có tọa độ M là: \(M(0;0;2)\) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB \(\left\{ \begin{array}{l} qua\,M(0;0;2)\\ VTPT\,\overrightarrow n = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;0} \right) \end{array} \right.\) Nên có phương trình là: \(3(x - 0) - 1(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x - y = 0\).
Câu 606: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {2; - 5;7} \right)\).Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng Oxy. A. \(M'(2;5;7)\) B. \(M'( - 2; - 5;7)\) C. \(M'( - 2;5;7)\) D. \(M'(2; - 5; - 7)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(M'(x';y';z')\) đối xứng điểm \(M(x;y;z)\) qua mặt phẳng Oxy nên: \(\left\{ \begin{array}{l} x' = x\\ y' = y\\ z' = - z \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = 2\\ y' = 5\\ z' = - 7 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow M'(2; - 5; - 7)\)
Câu 607: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A( - 2;2;1),\,B(1;0;2),\,C( - 1;2;3)\). Tính diện tích tam giác ABC. A. \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\) B. \({S_{\Delta ABC}} = 3\sqrt 5\) C. \({S_{\Delta ABC}} = 4\sqrt 5\) D. \({S_{\Delta ABC}} = \frac{5}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {1;0;2} \right)\) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 4; - 5;2} \right)\) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\)
Câu 608: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2\). Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó. A. (1;1;1) B. (2;2;2) C. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) D. \(\left( {-\frac{1}{2};-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz nên phương trình \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\) \(\Leftrightarrow \frac{{2x}}{a} + \frac{{2y}}{b} + \frac{{2z}}{c} = 2 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{a} + \frac{{2y}}{b} + \frac{{2z}}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\,\,(*)\) Do (*) đúng với mọi \(a,b,c > 0\) nên ta đồng nhất các tử số \(\Rightarrow x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{2};z = \frac{1}{2}.\) Vậy mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ: \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
Câu 609: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(H(2;1;1)\) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\). A. \(\left( \alpha \right):2x + y + z - 6 = 0.\) B. \(\left( \alpha \right):2x - y - z - 2 = 0.\) C. \(\left( \alpha \right):x + y + z - 4 = 0.\) D. \(\left( \alpha \right):2x - y + z - 4 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(A(a;0;0);\,B(0;b;0);\,C(0;0;c)\) khi đó mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\) Ta có: \(\begin{array}{l} \overrightarrow {AH} = \left( {2 - a;1;1} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {2;1 - b;1} \right)\\ \overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right). \end{array}\) Do H là trực tâm của tam giác ABC nên: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\\ - b + c = 0\\ - 2a + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 6\\ c = 6 \end{array} \right.\) Vậy phương trình của \(\left ( \alpha \right )\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0.\)
Câu 610: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm M là giao điểm của ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y - z - 1 = 0\), \(\left( \beta \right):3x - y - z + 2 = 0\),\(\left( \gamma \right):4x - 2y + z - 3 = 0\) . Tìm tọa độ điểm M? A. M(1;-2;3). B. M(1;2;3). C. M(-1;2;3). D. M(1;2;-3). Spoiler: Xem đáp án Tọa độ điểm M là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + y - z - 1 = 0\\ 3x - y - z + 2 = 0\\ 4x - 2y + z - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2\\ z = 3 \end{array} \right.\) Vậy tọa độ giao điểm là M(1;2;3).
Câu 611: Trong không gian vơi hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M(0;2;1) và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 5y + 9z - 13 = 0\) và \(\left( \beta \right):3x - y - 5z + 1 = 0\). Viết phương trình của mặt phẳng (P). A. \(x - y + z - 3 = 0.\) B. \(2x + y + z - 3 = 0.\) C. \(x + y + z - 3 = 0.\) D. \(2x - y + z + 3 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \(m(x + y - 13) + n(3x - y - 5z + 1) = 0\) Mặt phẳng (P) đi qua M(0;2;1) nên: \(\begin{array}{l} m(0 + 5.2 + 9.1 - 13) + n(3.0 - 2 - 5.1 + 1) = 0\\ \Leftrightarrow m - n = 0. \end{array}\) Chọn m=1 suy ra n=1. Vậy phương trình của (P) là: \(x + y + z - 3 = 0.\)
