Câu 612: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;5} \right)\)và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình \(3x - 2y + z + 7 = 0\) và \(5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). A. \(x + 2y + z - 5 = 0.\) B. \(3x + 2y - 2 = 0\) C. \(3x - 2y - 2z + 2 = 0.\) D. \(3x - 2z = 0.\) Spoiler: Xem đáp án \({\overrightarrow n _{(P)}} = \left( {3; - 2;1} \right);\,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {5; - 4;3} \right)\) \(\left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(Q)}}} } \right] = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(2; - 1;5)\\ VTPT\,\overrightarrow n = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(Q)}}} } \right] = \left( {1;2;1} \right) \end{array} \right.\) Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0\) hay \(x + 2y + z - 5 = 0\).
Câu 613: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( { - 4;1;2} \right)\) và chứa trục Ox. A. \(y + z = 0.\) B. \(2x - z = 0.\) C. \(2y + z = 0.\) D. \(2y - z = 0.\) Spoiler: Xem đáp án (P) chứa trục Ox và đi qua điểm \(M\left( { - 4;1;2} \right)\) suy ra \(\overrightarrow i\) và \(\overrightarrow {OM}\) có giá nằm trong mặt phẳng (P). \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow i = (1;0;0)\\ \overrightarrow {OM} = \left( { - 4;1;2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {OM} } \right] = \left( {0; - 2;1} \right)\) Mặt phẳng (P): \(\left\{ \begin{array}{l} qua\,M( - 4;1;2)\\ VTPT\,\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OM} } \right] = \left( {0; - 2;1} \right) \end{array} \right.\) Vậy phương tình của mặt phẳng (P) là: \(0(x + 4) - 2(y - 1) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2y - z = 0.\)
Câu 614: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương tình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \(A(3;1; - 1),\,B(2; - 1;4)\) và song song với trục Ox. A. \(3x + z - 2 = 0\) B. \(y - z = 0.\) C. \(y + z - 3 = 0.\) D. \(5y + 2z - 3 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {1;0;0} \right)\) \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;5} \right)\\ \overrightarrow k = \left( {1;0;0} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {0;5;2} \right)\) Mặt phẳng \((P):\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(3;1; - 1)\\ VTPT\,\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {0;5;2} \right) \end{array} \right.\) Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(0(x - 3) + 5(y - 1) + 2(z + 1) = 0\) hay \(5y + 2z - 3 = 0.\)
Câu 615: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua các hình chiếu của A(5;4;3) lên các trục tọa độ. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). A. \(\left( \alpha \right):12x + 15y + 20z - 60 = 0\) B. \(\left( \alpha \right):12x + 15y + 20z + 60 = 0\) C. \(\left( \alpha \right):\frac{x}{5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 0\) D. \(\left( \alpha \right):\frac{x}{5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} - 60 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Tọa độ hình chiếu của A lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: \(M(5;0;0);\,N(0;4;0);\,P(0;0;3).\) Vậy phương trình mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) là: \(\frac{x}{5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1\) (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn). Hay \(12x + 15y + 20z - 60 = 0.\)
Câu 616: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(2; - 1;6);\,B( - 1;2;4);\,I( - 1; - 3;2)\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất. A. \(3x + 7y - 6z + 35 = 0\) B. \(3x - 7y + 6z + 35 = 0\) C. \(3x + 7y + 6z - 35 = 0\) D. \(- 3x + 7y + 6z - 35 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} IA = \sqrt {{3^2} + {2^2} + {4^2}} = \sqrt {29} \\ IB = \sqrt {{0^2} + {5^2} + {2^2}} = \sqrt {29} \end{array}\) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vì IA=IB nên \(IM \bot AB\). Ta có: \(M = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};5} \right);IM = \frac{{\sqrt {94} }}{2}\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Nếu H, M là hai điểm phân biệt thì tam giác IHM vuông tại H, IH<IM hay \(IH < \frac{{\sqrt {94} }}{2}\) Nếu H trùng với M thì \(IH = IM = \frac{{\sqrt {94} }}{2}\). Vậy \(IH \le \frac{{\sqrt {94} }}{2}\), IH lớn nhất khi \(H \equiv M\). Khi đó: (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {IH} = \overrightarrow {IM} = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2};3} \right)\) Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(\frac{3}{2}(x - 2) + \frac{7}{2}(y + 1) + 3(z - 6) = 0\) Hay: \(3x + 7y + 6z - 35 = 0\)
Câu 617: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(2; - 1;1),B(1;0;4),C(0; - 2; - 1)\) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC. A. \(2x + y + 5z - 5 = 0.\) B. \(x + 2y - 5z + 5 = 0.\) C. \(x + 2y + 5z - 5 = 0.\) D. \(2x - y + 5z - 5 = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2; - 5} \right)\) Mặt phẳng (P) vuông góc với BC nên nhận \(\overrightarrow n = - \overrightarrow {BC} = \left( {1;2;5} \right)\) là VTPT. Mặt khác (P) đi qua A, nên phương trình của (P) là: \(1(x - 2) + 2(y + 1) + 5(z - 1) = 0\) hay \(x + 2y + 5z - 5 = 0.\)
Câu 618: Hai điểm A,B nằm trên mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 4} \right)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 2)^2} = 9\). Biết rằng AB song song với OI, trong đó O là góc tọa độ và I là tâm mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB. A. \(2x - y - z - 12 = 0\) B. \(2x + y + z - 4 = 0\) C. \(2x - y - z - 6 = 0\) D. \(2x + y + z + 4 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng trung trực của AB sẽ đi qua tâm mặt cầu \(I\left( {4; - 2; - 2} \right)\). Ngoài ra, mặt phẳng đó vuông góc với AB nên cũng vuông góc với OI. Suy ra \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} = (2; - 1; - 1)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Do đó, phương trình của mặt phẳng là: \(\begin{array}{l} 2(x - 4) - 1(y + 2) - 1(z - 2) = 0\\ \Leftrightarrow 2x - y - z - 12 = 0 \end{array}\)
Câu 619: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) biết đi qua hai điểm \(A(5; - 2;0);\,B( - 3;4;1)\) và vectơ \(\overrightarrow a = (1;1;1)\) có phương là một đường thẳng song song với \(\left( \alpha \right)\). A. \(\left( \alpha \right):5x + 9y - 4z - 7 = 0\) B. \(\left ( \alpha \right ):5x + 9y - 14z - 7 = 0\) C. \(\left( \alpha \right):5x - 9y - 4z + 7 = 0\) D. \(\left( \alpha \right):5x + 9y + 4z + 7 = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( { - 8;6;1} \right)\\ \overrightarrow a = \left( {1;1;1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5;9; - 14} \right)\\ \left( \alpha \right)\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(5; - 2;0)\\ VTCP\,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {5;9; - 14} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right):5x + 9y - 14z - 7 = 0. \end{array}\)
Câu 620: Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(3x + 5y - z - 2 = 0\) và đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\). Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d. A. \(\left( \beta \right):4x + 3y + z + 2 = 0\) B. \(\left( \beta \right): - 4x + 3y + z + 2 = 0\) C. \(\left( \beta \right):4x - 3y + z - 2 = 0\) D. \(\left( \beta \right):4x + 3y + z - 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của đường thẳng d là \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 12 + 4t}\\ {y = 9 + 3t}\\ {z = 1 + t} \end{array}} \right.\). Khi đó thay vào phương trình \((\alpha)\) ta được: \(3\left( {12 + 4t} \right) + 5\left( {9 + 3t} \right) - \left( {1 + t} \right) - 2 = 0\) \(\Leftrightarrow t = - 3\) \(\Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right)\) Viết phương trình mặt phẳng \(( \beta )\). \(( \beta )\) vuông góc với \(d \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow n _{\left( \beta \right)}} = \left( {4;3;1} \right),\) \(( \beta )\) qua \(M\left( {0;0; - 2} \right)\) \(\Rightarrow \left( \beta \right):4x + 3y + z + 2 = 0\)
Câu 621: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(0;-1;2); B(-1;2;-3); C(0;0;-2). A. \((P):3x + 4y + z + 2 = 0.\) B. \((P):7x + 4y + z + 2 = 0\) C. \((P):5x - 4y + z + 2 = 0\) D. \((P):7x + 4y - z + 2 = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 1;3; - 5)\\ \overrightarrow {AC} = (0;1; - 4) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 7; - 4; - 11} \right)\\ \left( \alpha \right):\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(0; - 1;2)\\ VTPT\,\overrightarrow n = - \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {7;4;11} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right):7x + 4y + z + 2 = 0. \end{array}\)
