Câu 622: Cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z + 5 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 6z + m = 0.\) Tìm tập hợp các giá trị của m để (S) và (P) có điểm chung. A. \(m \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {9; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left[ { - 5;9} \right]\) C. \(m \in \left[ { 2;3} \right]\) D. \(m \in \left( { - \infty ; 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) có tâm I (2;1;-1), bán kính R=1 Ta xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Cách để xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng với mặt cầu là so sánh khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng đó với bán kính mặt cầu. Để (S) và (P) giao nhau thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) \le R\) \(\frac{{\left| {3.2 - 2.1 + 6.\left( { - 1} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2}} }} \le 1\) \(\Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| \le 7 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 9\)
Câu 623: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(S\left( {1;2; - 1} \right)\) và tam giác ABC có diện tích bằng 6 nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z + 2 = 0\). Tính thể tích khối chóp S.ABC? A. \(V = 2\sqrt 6\) B. \(V = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\) C. \(V = \sqrt 6\) D. \(V = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(d\left( {S;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 - 2.2 + 1. - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) \(\Rightarrow V = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3}.6 = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\)
Câu 624: Cho điểm \(M(1;4;2)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,x + y + z - 1 = 0\). Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). A. \(H( - 1; - 2;0)\) B. \(H(1; - 2;0)\) C. \(H( - 1;2;0)\) D. \(H(1;2;0)\) Spoiler: Xem đáp án Xét đường thẳng d qua M và \(d \bot \left( \alpha \right)\). Khi đó H chính là giao điểm của d và \(( \alpha)\). Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) là Vectơ pháp tuyến cuả \(( \alpha)\) nên là Vectơ chỉ phương của d. Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 4 + t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\) Tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 4 + t\\ z = 2 + t\\ x + y + z - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 2\\ z = 0 \end{array} \right.\)
Câu 625: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm \(A\left( { - 1;0;1} \right);B\left( {2;1;0} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AB. A. \(\left( P \right):3x + y - z + 4 = 0\) B. \(\left( P \right):3x + y - z - 4 = 0\) C. \(\left( P \right):3x + y - z = 0\) D. \(\left( P \right):2x + y - z + 1 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1; - 1} \right)\). Phương trình mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {AB}\) làm vectơ pháp tuyến nên ta có: \(\left( P \right):3\left( {x - {x_A}} \right) + \left( {y - {y_A}} \right) - \left( {z - {z_A}} \right) = 0\) \(\left( P \right):3x + y - z + 4 = 0\)
Câu 626: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x + 3y - 5z + 2 = 0\). Tìm khẳng định đúng: A. Vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow u = \left( {2;3; - 5} \right)\) B. Điểm \(A\left( { - 1;0;0} \right)\) không thuộc mặt phẳng (P) C. Mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + 3y - 5z = 0\) song song với mặt phẳng (P) D. Không có khẳng định nào là đúng. Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow u = \left( {2;3; - 5} \right)\) là vectơ pháp tuyến của (P) không phải vectơ chỉ phương. Thay tọa độ \(A\left( { - 1;0;0} \right)\) vào (P) ta thấy A thỏa mãn phương trình của (P) nên A thuộc (P). Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có cùng vectơ pháp tuyến, lấy \(A\left( { - 1;0;0} \right)\) thuộc (P) nhưng không thuộc (Q) nên (P) và (Q) song song.
Câu 627: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A\left( {1,3,0} \right)\) và \(B\left( { - 2;1;1} \right)\) và đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B có tâm I thuộc đường thẳng \((\Delta)\). A. \({\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{521}}{{100}}\) B. \({\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + \left( {z + \frac{3}{5}} \right) = \frac{{25}}{3}\) C. \({\left( {x - \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + \left( {z - \frac{3}{5}} \right) = \frac{{521}}{{100}}\) D. \({\left( {x - \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + \left( {z - \frac{3}{5}} \right) = \frac{{25}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(R = I{A^2} = I{B^2}\) và \(I \in d \Rightarrow I\left( { - 1 + 2t;1 + t; - 2t} \right)\) Vì mặt cầu đi qua A,B nên \(I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {\left( { - 2 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 2 + t} \right)^2} + {\left( { - 2t} \right)^2}\) \(= {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {t^2} + {\left( { - 2t - 1} \right)^2}\) \(\Leftrightarrow t = \frac{3}{{10}} \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{5};\frac{{13}}{{10}}; - \frac{3}{5}} \right)\) \({R^2} = I{A^2} = \frac{{521}}{{100}}\) Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{13}}{{10}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{521}}{{100}}\).
Câu 628: Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 10 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z + m = 0\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để (S) và (P) tiếp xúc nhau. A. \(m = 7;m = - 5\) B. \(m = - 7;m = 5\) C. \(m = 2;m = 6\) D. \(m = - 2;m = - 6\) Spoiler: Xem đáp án (S) có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\), bán kính R=2. Để (P) và (S) tiếp xúc nhau thì \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) \(\frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 2} \right) - 2.3 + m} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 7\\ m = - 5 \end{array} \right.\)
Câu 629: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right),B\left( {1;0;6} \right),C\left( {0;2;1} \right),D\left( {1;4;0} \right)\). H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Tính AH. A. \(AH = \frac{{36}}{{\sqrt {76} }}\) B. \(AH = \frac{{24}}{{\sqrt {29} }}\) C. \(AH = \frac{{36}}{{\sqrt {29} }}\) D. \(AH = \frac{{29}}{{24}}\) Spoiler: Xem đáp án 1. Viết phương trình mặt phẳng (BCD): \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;2; - 5} \right);\overrightarrow {CD} = \left( {1;2; - 1} \right)\) \({\overrightarrow n _{(BCD)}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {8; - 6; - 4} \right)\) Mặt phẳng (BCD) qua (1;0;6) và có vtpt \(\overrightarrow n = \left( {8; - 6; - 4} \right)\) . Nên (BCD) có phương trình: \(8x - 6y - 4z + 16 = 0\)\(\Leftrightarrow 4x - 3y - 2z + 8 = 0\) 2. Tính khoảng cách \(AH = \frac{{\left| {4.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 8} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{{\sqrt {29} }}\) Có thể giải bài toán này bằng cách áp dụng tích có hướng tính thể tích khối tứ diện ABCD, diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra được AH.
Câu 630: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \(d' = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2 - 2t'}\\ {y = - 2 + t}\\ {z = 1 + 3t'} \end{array}} \right.\) Xét vị trí tương đối giữa d và d’. A. Chéo nhau B. Trùng nhau C. Song song D. Cắt nhau Spoiler: Xem đáp án Ta chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + t}\\ {y = 2 + 3t} \end{array}}\\ {z = 3 - t} \end{array}} \right.\) Ta xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + t = 2 - 2t'}\\ {2 + 3t = - 2 + t'}\\ {3 - t = 1 + 3t'} \end{array}} \right.\) Nhận xét: hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(t = - 1;t' = 1\). Vậy 2 đường thẳng này cắt nhau.
Câu 631: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x - 3y + 2z + 28 = 0\) và điểm \(I\left( {0;1;2} \right)\). Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). A. \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 29\) B. \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{{29}}{3}\) C. \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 29\) D. \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{{29}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu đã cho biết tâm I, ta chỉ cần đi tìm bán kính của mặt cầu. Mặt cầu đó tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\). Tức là: \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = R = \frac{{\left| {4.0 - 3.1 + 2.2 + 28} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = \sqrt {29}\) Khi đó mặt cầu cần tìm có phương trình: \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 29\)
