Câu 632: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho tam giác ABC có diện tích bằng 10 cm2 và nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 4y + 8 = 0\), điểm \(S\left( {1;1;3} \right)\). Tính thể tích khối S.ABC. A. $10 cm^3$ B. $12 cm^3$ C. $15 cm^3$ D. $30 cm^3$ Spoiler: Xem đáp án Thực chất đây là bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: \(d\left( {S;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\) Khi đó khoảng cách này chính là độ dài đường cao của khối chóp. \(V = \frac{1}{3}.3.10 = 10\,c{m^3}\)
Câu 633: Tìm m để hai mặt phẳng sau vuông góc nhau. \(\left( P \right):3x + 3y - z + 1 = 0\) và \(\left( Q \right):\left( {m - 1} \right)x + y - \left( {m + 3} \right)z - 3 = 0\) A. \(m = - \frac{1}{2}\) B. \(m = 2\) C. \(m = \frac{1}{2}\) D. \(m = - \frac{3}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) có vtpt \(\overrightarrow {{n_1}} ,\,\left( {{\alpha _2}} \right)\) có vtpt \(\overrightarrow {{n_2}}\). Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc là: \(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\) \(\Leftrightarrow 3(m - 1) + 3 + (m + 3) = 0\) \(\Leftrightarrow m = - \frac{3}{4}\)
Câu 634: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;1;3} \right);B\left( {2;3;5} \right);C\left( { - 1;2;6} \right)\). Xác định tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = 0\). A. \(M\left( {7;3;1} \right)\) B. \(M\left( { - 7; - 3; - 1} \right)\) C. \(M\left( {7; - 3;1} \right)\) D. \(M\left( {7; - 3; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \({x_A} - {x_M} + 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right) - 2\left( {{x_C} - {x_M}} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow {x_M} = {x_A} + 2{x_B} - 2{x_C} = 7\) Tương tự thì \({y_M} = {y_A} + 2{y_B} - 2{y_C} = 3\), \({z_M} = 1\). Vậy để \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) thì \(3.\left( {m - 1} \right) + 3.1 - 1.\left( { - \left( {m + 2} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}\)
Câu 635: Tìm để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2\left( {2m - 3} \right)y + 2\left( {2m + 1} \right)z + 11 - m = 0\) là phương trình một mặt cầu. A. $m<0$ hoặc $m>1$ B. $0<m<1$ C. $m<-1$ hoặc $m>2$ D. $-1<m<2$ Spoiler: Xem đáp án Ta có công thức tổng quát như sau: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} + {\left( {z + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) Để phương trình trên là phương trình mặt cầu thì \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) (điều kiện để có R) Áp dụng vào bài toán này ta có: \({\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {2m - 3} \right)^2} + {\left( {2m + 1} \right)^2} + m - 11 > 0\) \(\Leftrightarrow 9{m^2} - 9m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1}\\ {m < 0} \end{array}} \right.\)
Câu 636: Cho điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z + 3 = 0\) với thiết diện là hình tròn có đường kính bằng 2. A. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) B. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 24\) C. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\) D. \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 23\) Spoiler: Xem đáp án Vì mặt cầu cắt mặt phẳng (P) với thiết diện là hình tròn có đường kính bằng 2 \(\Rightarrow\) bán kính của hình tròn là \(r = \frac{2}{2} = 1\). Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là \(h = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2\sqrt 6\). Khi đó bán kính của mặt cầu là \(R = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {2\sqrt 6 } \right)}^2}} = 5\) Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\)
Câu 637: Cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Viết phương trình mặt mặt phẳng chứa điểm M và đường thẳng d. A. \(5x + 2y - 3z = 0\) B. \(5x + 2y - 3z + 1 = 0\) C. \(2x + 3y - 5z + 7 = 0\) D. \(2x + 3y - 5z = 0\) Spoiler: Xem đáp án Bước 1: Tìm một điểm A thuộc đường thẳng đã cho. Tìm \(\overrightarrow {AM}\) Bước 2: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right]\) Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M có vtpt \(\overrightarrow n\) Đề bài yêu cầu viết phương trình mặt phẳng chứa một điểm và một đường thẳng. Khi đó ta sẽ tìm hai điểm bất kì nằm trên đường thẳng d. Khi đó bài toán trở về viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm. Lấy \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) thuộc đường thẳng d. Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {0;3;2} \right)\) Ta có vtcp \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { - 5; - 2;3} \right)\). Mặt phẳng (P): Qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) có vtpt \(\overrightarrow n = \left( { - 5; - 2;3} \right)\) \(\Rightarrow \left( P \right): - 5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( P \right):5x + 2y - 3z = 0\)
Câu 638: Xác định m để bốn điểm \(A\left( {1;1;4} \right)\), \(B\left( {5; - 1;3} \right)\), \(C\left( {2;2;m} \right)\) và \(D\left( {3;1;5} \right)\) tạo thành tứ diện. A. \(m \in R\) B. \(m \ne 6\) C. \(m \ne 4\) D. \(m < 0\) Spoiler: Xem đáp án Để bốn điểm tạo thành tứ diện tức là C không thuộc mặt phẳng (ABD). Ta viết phương trình mặt phẳng (ABD). Bài toán quay về viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho quen thuộc. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2; - 1} \right);\,\overrightarrow {AD} = \left( {2;0;1} \right)\). Khi đó vtpt \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 2; - 6;4} \right)\) Mặt phẳng \(\left( P \right): - 2\left( {x - 1} \right) - 6\left( {y - 1} \right) + 4\left( {z - 4} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( P \right): - 2x - 6y + 4z - 8 = 0\) \(\Leftrightarrow \left( P \right):x + 3y - 2z + 4 = 0\) Để \(C\left( {2;2;2m} \right)\) không thuộc mặt phẳng (P) thì \(2 + 3.2 - 2m + 4 \ne 0\Leftrightarrow m \ne 6\)
Câu 639: Cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right),B\left( { - 4;2;5} \right),M\left( {m + 2;2n - 1;1} \right)\). Điểm Mthuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi: A. \(m = - 7;{\rm{ }}n = 3\) B. \(m = 7;{\rm{ }}n = - 3\) C. \(m = - \frac{7}{2};{\rm{ }}n = \frac{3}{2}\) D. \(m = \frac{7}{2};{\rm{ }}n = - \frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Để biết xác định được m, n thì ta cần tìm phương trình đường thẳng AB và sau đó thay tọa độ điểm M vào tìm m, n. Ta có AB có vtcp \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( { - 5;0;8} \right)\) Đường thẳng AB qua \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vtcp \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( { - 5;0;8} \right)\) \(\Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 5t\\ y = 2\\ z = - 3 + 8t \end{array} \right.\) Khi đó thay tọa độ M vào thì ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} 1 - 5t = m + 2\\ 2n - 1 = 2\\ - 3 + 8t = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = - \frac{7}{2}\\ n = \frac{3}{2}\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\).
Câu 640: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( \beta \right):2x - 3y + z + 5 = 0\). A. \(\left( \alpha \right):2x - 3y + z + 11 = 0\) B. \(\left( \alpha \right):4x - 6y + 2z - 22 = 0\) C. \(\left( \alpha \right): - 2x - 3y + z - 11 = 0\) D. \(\left( \alpha \right):4x - 6y + 2z + 22 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\) suy ra vtpt của \(\left( \alpha \right)\) cùng phương với vtpt \(\left( \beta \right)\). Khi đó \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(2x - 3y + z + m = 0\). Mà \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {1; - 2;3} \right)\) nên ta có: \(2.1 + \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) + 3 + m = 0\)\(\Leftrightarrow m = - 11\). Khi đó phương trình :\((\alpha):2x - 3y + z - 11 = 0\) . Hay:\(\left( \alpha \right):4x - 6y + 2z - 22 = 0\) . Dễ thấy B chính là phương án cần tìm.
Câu 641: Cho điểm \(A\left( { - 1;2;1} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) lần lượt có phương trình là: \(\begin{array}{l} \left( \alpha \right):2x + 4y - 6z - 5 = 0\\ \left( \beta \right):x + 2y - 3z = 0 \end{array}\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \((\beta)\) đi qua A và song song với \((\alpha)\). B. \((\beta)\) không đi qua A và không song song với \((\alpha)\). C. \((\beta)\) đi qua A và không song song với \((\alpha)\). D. \((\beta)\) không đi qua A và song song với \((\alpha)\). Spoiler: Xem đáp án Ta dễ dàng chứng minh được \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là hai mặt phẳng song song. Ta tiếp tục đi nhận xét từng mệnh đề một. Thay \(A\left( { - 1;2;1} \right)\) vào \(\left( \beta \right)\) ta được: \(- 1 + 2.2 - 3.1 = 0\) thỏa mãn vậy \(A\in\left( \alpha \right)\). Vậy A là mệnh đề đúng. Kiểm tra tương tự các mệnh đề còn lại là các mệnh đề sai.
