Câu 642: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {1;1;3} \right);B\left( {2;6;5} \right)\) và tọa độ trọng tâm \(G\left( { - 1;2;5} \right)\). Tìm tọa độ điểm C. A. \(C\left( { - 6; - 1;7} \right)\) B. \(C\left( {6;1;7} \right)\) C. \(C\left( {\frac{{ - 10}}{3}; - \frac{{19}}{3}; - \frac{{19}}{3}} \right)\) D. \(C\left( {\frac{{10}}{3};\frac{{19}}{3};\frac{{19}}{3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, G là trọng tâm của tam giác ABC thì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_G} = \frac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right)}\\ {{y_G} = \frac{1}{3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right)}\\ {{z_G} = \frac{1}{3}\left( {{z_A} + {z_B} + {z_C}} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B}\\ {y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B}\\ {z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} \end{array} \right.\) Tìm được \(C\left( { - 6; - 1;7} \right)\)
Câu 643: Cho $m \ne 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{m} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z+5}}{m}$ cắt đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = t + 5\\ y = 2t + 3\\ z = - t + 3 \end{array} \right.\). Nhận xét nào sau đây là nhận xét đúng về giá trị m? A. m là một số nguyên dương. B. m là một số nguyên âm. C. m là một số hữu tỉ dương. D. m là một số hữu tỉ âm. Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + mt'\\ y = 3 + t'\\ z = - 5 + mt' \end{array} \right.\) Ta có hệ giao điểm như sau: \(\left\{ \begin{array}{l} 1 + mt' = t + 5\\ 3 + t' = 2t + 3\\ - 5 + mt' = - t + 3 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} t' = 2t\\ 2mt + 1 = t + 5\\ 2mt - 5 = - t + 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {2m - 1} \right)t = 4\\ \left( {2m + 1} \right)t = 8 \end{array} \right.\) Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \frac{4}{{2m - 1}} = \frac{8}{{2m + 1}}\) \(\Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\) Đáp án C.
Câu 644: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm \(M\left( {3;1;1} \right),N\left( {4;8; - 3} \right),P\left( {2;9; - 7} \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y - z - 6 = 0\). Đường thẳng d đi qua G, vuông góc với (Q). Tìm giao điểm A của mặt phẳng (Q) và đường thẳng d. Biết G là trọng tâm của tam giác MNP. A. \(A\left( {1;2;1} \right)\) B. \(A\left( {1; - 2; - 1} \right)\) C. \(A\left( { - 1; - 2; - 1} \right)\) D. \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác MNP có trọng tâm \(G\left( {3;6; - 3} \right)\) Đường thẳng d qua G, vuông góc với \(\left( Q \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t\\ y = 6 + 2t\\ z = - 3 - t \end{array} \right.\) Đường thẳng d cắt (Q) tại \(A:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t\\ y = 6 + 2t\\ z = - 3 - t\\ x + 2y - z - 6 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2; - 1} \right)\)
Câu 645: Tính khoảng cách d từ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) tới mặt phẳng (P) trong đó: \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{3};\,\,\,{d_2}:\frac{{ - x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\);\(\left( P \right):2x + 4y - 4z - 3 = 0\). A. \(d = \frac{4}{3}\) B. \(d = \frac{7}{6}\) C. \(d = \frac{{13}}{6}\) D. \(d = \frac{5}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Giao điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) của \({d_1};{d_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x_0} + 1}}{2} = \frac{{{y_0}}}{3} = \frac{{{z_0} - 1}}{3}\\ \frac{{ - {x_0} + 1}}{2} = \frac{{{y_0}}}{1} = \frac{{{z_0} - 1}}{1} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \frac{{ - {x_0} + 1}}{2} = 3\frac{{{x_0} + 1}}{2} \Rightarrow {x_0} = \frac{1}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{3}{4};{z_0} = \frac{7}{4}\) \(\Rightarrow A\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{4};\frac{7}{4}} \right)\) \(\Rightarrow {d_{A/\left( P \right)}} = \frac{{\left| { - 1 + 3 - 7 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {4^2}} }} = \frac{4}{3}\) Vậy đáp án đúng là A.
Câu 646: Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left( {1;4;2} \right),B\left( { - 1;2;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{2}\). Tìm tọa điểm M trên \(\Delta\) sao cho: \(M{A^2} + M{B^2} = 28\). A. \(M\left( { - 1;0;4} \right)\) B. \(M\left( {1;0;4} \right)\) C. \(M\left( { - 1;0; - 4} \right)\) D. \(M\left( {1;0; - 4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tham số đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = - 2 + t\\ z = 2t \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1 - t; - 2 + t;2t} \right)\) Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} = 28 \Leftrightarrow 12{t^2} - 48t + 48 = 0 \Leftrightarrow t = 2\) Từ đó suy ra: \(M\left( { - 1;0;4} \right)\)
Câu 647: Trong không gian Oxyz cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD. A. 1 B. \(\frac{1}{6}\) C. \(\frac{1}{3}\) D. \(\frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {BA} } \right|\) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;0; - 2} \right);\,\overrightarrow {BD} = \left( {0; - 1; - 2} \right);\,\overrightarrow {BA} = \left( {1;2;1} \right)\) Do đó ta có: \(\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) \(\Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}.\left| {\left( { - 2;2; - 1} \right).\left( {1;2;1} \right)} \right| = \frac{1}{6}.\left| { - 2 + 4 - 1} \right| = \frac{1}{6}\) Vậy đáp án đúng là B.
Câu 648: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 2z = 19\). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu. A. \(I\left( {1; - 2;1} \right);R = \sqrt {19}\) B. \(I\left( { - 1;2; - 1} \right);R = \sqrt {19}\) C. \(I\left( {1; - 2;1} \right);R = 5\) D. \(I\left( { - 1;2; - 1} \right);R = 5\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 2z = 19\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25 \end{array}\) Do đó, đáp án đúng là C.
Câu 649: Cho 3 điểm \(A\left( {6,9,1} \right),B\left( { - 2,1, - 3} \right),C\left( {1,1,0} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). A. \(\left( {ABC} \right): - 6x + 5y + 2z - 11 = 0\) B. \(\left( {ABC} \right):3x - 5y - 2z + 11 = 0\) C. \(\left( {ABC} \right):6x - 5y - 2z - 11 = 0\) D. Không viết được do không đủ dữ kiện. Spoiler: Xem đáp án \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 8; - 8; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 7; - 8; - 1} \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) Mà \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 24;20;8} \right)\) Do đó mặt phẳng (ABC) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( { - 24;20;8} \right)\) (ABC) qua \(A\left( {6;9;1} \right)\) và VTPT \(\overrightarrow n = \left( { - 24;20;8} \right)\) \(\Rightarrow \left( {ABC} \right): - 24.\left( {x - 6} \right) + 20\left( {y - 9} \right) + 8\left( {z - 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {ABC} \right): - 24x + 20y + 8z - 44 = 0\) \(\Leftrightarrow - 6x + 5y + 2z - 11 = 0\) Đáp án A.
Câu 650: Trong không gian Oxyz cho \(\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right);\,\overrightarrow b = \left( { - 2;1;1} \right)\). Tính tọa độ vectơ tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\). A. \(\left( {1;7; - 5} \right)\) B. \(\left( { - 1; - 7;3} \right)\) C. \(\left( {1;7;3} \right)\) D. \(\left( { - 1; - 7;5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Công thức tích có hướng: \(\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right);\,\overrightarrow v = \left( {x';y';z'} \right)\) \(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} y&z\\ {y'}&{z'} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} z&x\\ {z'}&{x'} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ {x'}&{y'} \end{array}} \right|} \right)\) Do đó ta có: \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( {2.1 - 1.3;3.\left( { - 2} \right) - 1.1;1.1 - \left( { - 2} \right).2} \right) = \left( { - 1; - 7;5} \right)\) Vậy đáp án đúng là D.
Câu 651: Trong mặt phẳng Oxy cho đường \(\left( {{C_m}} \right):{x^2} + {y^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0\). Với các giá trị nào của m sau đây thì \(\left( {{C_m}} \right)\) là một đường tròn? A. \(1 < m < 2\) B. m<1 và m>2 C. m=1 D. m=2 Spoiler: Xem đáp án \(\left( {{C_m}} \right):{x^2} + {y^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0\) \(\Rightarrow a = m + 2;b = - 2m;c = 19m - 6\) Để \(\left( {{C_m}} \right)\) là đường tròn \(\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\) \(\Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + 4{m^2} - 19m + 6 > 0\) \(\Rightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow m < 1 \vee m > 2\).
