Câu 652: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;0;1), tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\). A. (1;0;2) B. (-1;1;2) C. (0;2;1) D. (1;1;2) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là hình chiếu của M(2;0;1) lên đường thẳng d. \(\Rightarrow H\left( {1 + t;2t;2 + t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {t - 1;2t;t + 1} \right)\) \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right).1 + 2t.2 + \left( {t + 1} \right).1 = 0\) \(\Leftrightarrow 6t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow H\left( {1;0;2} \right)\). Đáp án A. Ngoài ra còn cách giả khác như sau: + Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d. + Tìm giao điểm của mặt phẳng đó và đường thẳng d ta tìm được H.
Câu 653: Cho mặt cầu (S) tâm I(1;1;3) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z + 9 = 0\). Viết phương trình mặt cầu (S)? A. \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 6z - 36 = 0\) B. \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y + 6z - 25 = 0\) C. \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 6z - 25 = 0\) D. \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 6z - 18 = 0\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z + 9 = 0\) thì khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) chính là bán kính R \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R = \frac{{\left| {1 + 1.2 + 2.3 + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 6\) \(\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 36\) \(\Leftrightarrow \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 6z - 25 = 0\)
Câu 654: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {0;6;0} \right);B\left( {0;0;8} \right)\) và \(C\left( {4;0;8} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. BC vuông góc với CA. B. BC vuông góc với mặt phẳng (OAB). C. AB vuông góc với AC. D. Câu A và câu B đều đúng. Spoiler: Xem đáp án Mệnh đề A: ta thấy \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;0;0} \right);\overrightarrow {CA} = \left( { - 4;6; - 8} \right)\) Nhận thấy \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \ne 0\) nên mệnh đề A không đúng, từ đó ta loại được đáp án D. Mệnh đề B: Ta thấy nếu BC vuông góc với mp (OAB) thì BC song song hoặc trùng với vtcp của mp(AOB). Mà \(\overrightarrow {{n_{OAB}}} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {48;0;0} \right)\). Nhận thấy BC song song với vtpt của (OAB) nên mệnh đề này đúng vậy ta chọn luôn đáp án B mà không cần xét đến C nữa.
Câu 655: Trong không gian cho điểm \(A\left( {2;6;9} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z + 9 = 0\). Tính \(d = \frac{2}{3}d\left( {A;\left( P \right)} \right)\) A. \(d = \frac{{25\sqrt {14} }}{7}\) B. \(d = \frac{{50\sqrt {14} }}{{21}}\) C. \(d = \frac{{75\sqrt {14} }}{{14}}\) D. \(d = 50\) Spoiler: Xem đáp án Công thức tính khoảng cách từ điểm A(2;6;9) đến mặt phẳng (P). \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2.6 + 3.9 + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{25\sqrt {14} }}{7}\). \(d = \frac{2}{3}d\left( {A;\left( P \right)} \right)\) \(\Rightarrow d = \frac{{50\sqrt {21} }}{{14}}\). Đáp án B.
Câu 656: Cho \(\overrightarrow a = \left( {0;0;1} \right);\,\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\,\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\) B. \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \sqrt {2/3}\) C. \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow c } \right|\) D. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow 0\) Spoiler: Xem đáp án Đáp án A sai vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0.1 + 0.1 + 1.0 = 0\) Đáp án B đúng vì: \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow b .\overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|.\left| {\overrightarrow c } \right|}} = \frac{{1.1 + 1.1 + 0.1}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt {\frac{2}{3}}\) Đáp án C sai vì: \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 ;\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 ;\left| {\overrightarrow a } \right| = 1\). Không thỏa mãn đẳng thức. Đáp án D sai vì: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {2;2;2} \right)\).
Câu 657: Cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 25\). Tìm tâm I, bán kính R của mặt cầu (S). A. \(I\left( {1;2;6} \right);R = 5\) B. \(I\left( { - 1; - 2; - 6} \right);R = 5\) C. \(I\left( {1;2;6} \right);R = 25\) D. \(I = (1;2;6);R = \pm 5\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình mặt cầu (S) khi biết tâm I(a,b,c) bán kính R. \((S):\,{(x - z)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
Câu 658: Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(5x + 6y + 2 = 0\). Tìm vectơ pháp tuyến của (P)? A. \(\overrightarrow n = \left( {5,6,0} \right)\) B. \(\overrightarrow n = \left( { - 6,5,0} \right)\) C. \(\overrightarrow n = \left( {5,6,2} \right)\) D. \(\overrightarrow n = \left( { - 5,6,2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) thì vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {a,b,c} \right)\) Áp dụng vào bài toán ta thấy \(5x + 6y + 2 = 5x + 6y + 0z + 2 \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {5,6,0} \right)\) Đáp án A.
Câu 659: Cho \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\) là vectơ tích có hướng giữa hai vectơ \(\overrightarrow a\) và vectơ\(\overrightarrow b\). Và các phát biểu sau: (I) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\) có vuông góc đồng thời với cả hai vectơ \(\overrightarrow a\) và vectơ\(\overrightarrow b\). (II) \(\left| {\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\) (III) \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = - \left[ {\overrightarrow b ;\overrightarrow a } \right]\) Có bao nhiêu phát biểu đúng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án (I) (III) là những tính chất đúng của tích của hướng. (II) là phát biểu sai. Đúng là: \(\left| {\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.sin\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\)
Câu 660: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c = (1;1;1)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. \(\overrightarrow b \bot \overrightarrow c\) B. \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3\) C. \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2\) D. \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\overrightarrow b .\overrightarrow c = 2\) suy ra A là phương án cần tìm. Dễ dàng kiểm tra được các phương án còn lại là những khẳng định đúng.
Câu 661: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 1; 4), B(–2; 2; –6), C(6; 0; –1). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\). A. -67 B. 65 C. 67 D. 33 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 4;1; - 10)\\ \overrightarrow {AC} = \left( {4; - 1; - 5} \right) \end{array}\) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 33\)
